专题9旋转型最值问题-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题9旋转型最值问题 ( 经典例题 ) 【例1】如图，已知二次函数yx2﹣4的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点． （1）点B，C的坐标分别为B　（3，0）　，C　（0，﹣4）　； （2）当P点运动到（﹣1，﹣2）时，判断PB与⊙C的位置关系，并说出理由； （3）是否存在点P，使得△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值＝　　． 【分析】（1）在抛物线解析式中令y＝0可求得B点坐标，令x＝0可求得C点坐标； （2）用勾股定理的逆定理即可求解； （3）当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，利用△CP2F∽△BP2E，即可求解； （4）如图3中，连接AP，根据OB＝OA，BE＝EP，推出OEAP，可知当AP最大时，OE的值最大． 【解析】（1）在yx2﹣4中，令y＝0，则x＝±3，令x＝0，则y＝﹣4， ∴B（3，0），C（0，﹣4）； 故答案为：（3，0），（0，﹣4）； （2）如图（2），当P点运动到（﹣1，﹣2）时，即处于点P1位置，此时，P（P1）B与⊙C相切； ∵P1（﹣1，﹣2）， 而点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣4）， ∴P1B2＝20，P1C2＝5，BC2＝25，故P1B2+P1C2＝BC2， ∴CP1⊥P1B， ∴P1B与⊙C相切； （3）存在点P，使得△PBC为直角三角形， 当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）， 连接BC， ∵OB＝3．OC＝4， ∴BC＝5， ∵CP2⊥BP2，CP2， ∴BP2＝2， 过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F， 则△CP2F∽△BP2E， ， 设OF＝P2E＝2x，FP2＝OE＝x， ∴BE＝3﹣x，CF＝2x﹣4， ∴2， ∴x，2x， ∴FP2，EP2， ∴P2（，）， 由（2）知，P1符合条件，即P1（﹣1，﹣2）； 综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，）； （4）如图（3），连接AP，∵OB＝OA，BE＝EP， ∴OEAP， ∴当AP最大时，OE的值最大， ∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值＝5， ∴OE的最大值为 故答案为：． 【例2】在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE． （1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是　90　度； （2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若△ABD的面积为4，求△CBE的面积； （3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值． 【分析】（1）根据旋转的性质可知：∠DEC＝45°，再由等边对等角得∠BEC＝45°，则∠CED＝90°； （2）由△ABC≌△DBE得出BA＝BD，BC＝BE，进而得出，证明△ABD∽△CBE，根据面积比等于相似比的平方求出△CBE的面积； （3）作辅助线，当点P在F处时BP最小，则BG最小，MP'最小；当点P在点C处时，BP最大，则BH最大，MP'最大，代入计算即可得出结论． 【解析】（1）如图1，由旋转得：∠DEB＝∠ACB＝45°，BC＝BE， ∴∠ACB＝∠BEC＝45°， ∴∠CED＝90°， 故答案为：90； （2）如图2，∵△ABC≌△DBE， ∴BA＝BD，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE， ∴， ∵∠ABD＝∠CBE， ∴△ABD∽△CBE， ∴（）2 ∵S△ABD＝4， ∴S△CBE； （3）∵M是AB的中点，∴BMAB＝2 如图③，过点B作BF⊥AC，F为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点F在线段AC上， 在Rt△BCF中，BF＝BC×sin45°， 以B为圆心，BF为半径画圆交AB于G，BP'有最小值BG． ∴MP'的最小值为MG＝BG﹣BM2， 以B为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于H，BP'有最大值BH． 此时MP'的最大值为BM+BH＝2+5＝7， ∴线段MP'的最大值为7，最小值为2． 【例3】问题提出 （1）如图①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′，则CC′＝　2　； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP