专题8PA+kPB型最短问题-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题8PA+kPB型最短问题 ( 经典例题 ) 【例1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点B，直线y＝kx+b过点B，与抛物线交于点A，点A的坐标为（﹣2，m）． （1）求直线AB的解析式和点C的坐标； （2）点P是直线AB下方抛物线上的一个动点，它的横坐标为t，过P作PQ平行于y轴交AB于点Q，当线段PQ的长度最大时，在线段AB上找一点D（不与点A、点B重合），使PDBD的值最小，求点D的坐标和PDBD的最小值； （3）如图2，点M是y轴上的一个动点，连接CB、CM，将△BCM绕点B顺时针旋转60°得到△BC'M'（C的对应点为C'，M的对应点为M'），是否存在点M，使△CMM'的面积是？若存在，请求出BM的长度；若不存在，说明理由． 【分析】（1）求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）构建二次函数求出点P坐标，作DE⊥OB于E．首先证明DEBD，可得PDBD＝PD+DE，当P、D、E共线时，PDBD的值最小，由此即可解决问题； （3）分三种情形①如图2中，当线段MM′在点C上方时，设M（0，m）．②如图3中，当线段MM′在点C下方时，③如图4中，当点M在点B下方时，分别构建方程即可解决问题； 【解析】（1）令y＝0，0，解得x＝1或， ∴C（1，0）， 令x＝0得到y， ∴B（0，）， 当x＝﹣2时，m， ∴A（﹣2，）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 则有，解得， ∴直线AB的解析式为yx． （2）如图1中，设P（t，t2t），则Q（t，t）． ∴PQt（t2t）t2t（t+1）2， ∵0， ∴当t＝﹣1时，PQ有最大值，此时P（﹣1，）， 作DE⊥OB于E． ∵AB交x轴于G（﹣1，0）， ∴OG＝1，OB， ∴tan∠OBG， ∴∠OBG＝30°， ∴DEBD， ∴PDBD＝PD+DE， ∴当P、D、E共线时，PDBD的值最小，最小值为1，此时D（，）． （3）存在．①如图2中，当线段MM′在点C上方时，设M（0，m）． ∵△BMM′是等边三角形，∠CBO＝30°， ∴∠MBM′＝60°， ∴∠CBM＝∠CBM′＝30°， ∵BM＝BM′，BC＝BC， △BCM≌△BCM′， ∵S△CMM′， ∴（m）2﹣2（m）×1， 解得m或（舍弃）， ∴BM＝OM+OB． ②如图3中，当线段MM′在点C下方时，同法可得2（m）×1（m）2， 解得m或（舍弃）， ∴BM． ③如图4中，当点M在点B下方时，同法可得2（m）×1（m）2， 解得：m（舍弃）或， ∴BMm． 【例2】问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求APBP的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PDBP，∴APBP＝AP+PD． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：APBP的最小值为　　． （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为　　． （3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值． 【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD； （2）连接CP，在CA上取点D，使CD，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PDAP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD； （3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值． 【解析】（1）如图1， 连结AD， ∵APBP＝AP+PD，要使APBP最小， ∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小， 即：APBP最小值为AD， 在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6， ∴AD， APBP的最小值为，故答案为：； （2）如图2， 连接CP，在CA上取点D，使CD， ∴， ∵∠PCD＝∠ACP， ∴△PCD∽△ACP， ∴， ∴PDAP， ∴AP+BP＝BP+PD， ∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD． 故答案为：； （3）如图3， 延长OA到点E，使CE＝6， ∴OE＝OC+CE＝12， 连接PE、OP， ∵OA＝3， ∴， ∵∠AOP＝∠AOP， ∴△OAP∽△OPE， ∴， ∴EP＝2PA， ∴2PA+PB＝EP+PB， ∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE13． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点