专题7最短路径问题-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题7最短路径问题 ( 经典例题 ) 【例1】如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD、BE（如图①），点O为其交点． （1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点． ①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度； ②如图③，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN+NP+PD的最小值＝　　． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO＝∠OBD＝30°，得到AO＝OB，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）①如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD＝BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BNBD，于是得到结论； ②如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN＝∠QBN＝30°，∠QBQ′＝60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论． 【解析】（1）AO＝2OD， 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAO＝∠ABO＝∠OBD＝30°， ∴AO＝OB， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴∠BDO＝90°， ∴OB＝2OD， ∴OA＝2OD； （2）①如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P， 则此时PN+PD的长度取得最小值， ∵BE垂直平分DD′， ∴BD＝BD′， ∵∠ABC＝60°， ∴△BDD′是等边三角形， ∴BNBD， ∵∠PBN＝30°， ∴， ∴PB； ②如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′， 连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠Q′BN＝∠QBN＝30°，∠QBQ′＝60°， ∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形， ∴∠D′BQ′＝90°， ∴在Rt△D′BQ′中， D′Q′． ∴QN+NP+PD的最小值， 故答案为：． 【例2】如图，矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，在线段AC上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，动点E从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）． （1）若△CDE与△ADC相似，求t的值． （2）连接AQ，BP，CE，若BP⊥CE，求t的值； （3）当PQ长度取得最小值时，求t的值． 【分析】（1）由题意可得CD2＝DE•DA，即36＝4t×8，解方程即可． （2）如图1中，作PM⊥BC于M．由△PMB∽△QBA，得，由CP＝5t，CM＝4t，PM＝3t，可得方程，解方程即可． （3）根据PQ，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解析】（1）∵0＜t＜2， ∴点E与点A不重合， ∵△CDE与△ADC相似， ∴∠DCE＝∠DAC， ∴， CD2＝DE•DA，即36＝4t×8， 解得ts． （2）如图1， ∵DE＝BQ＝4t，AD＝BC，AD∥BC ∴AE＝CQ，AE∥CQ， ∴四边形AECQ为平行四边形， ∴CE∥AQ，过点P做PM⊥CB于点M， ∵BP⊥CE，CE∥AQ， ∴BP⊥AQ， ∴∠ABP+∠PBM＝90°，∠BAQ+∠PBA＝90°， ∴∠BAQ＝∠PBM，∵∠ABQ＝∠PMB＝90°． ∴△PMB∽△QBA， ∴， ∵CP＝5t，CM＝4t，PM＝3t， ∴， 所以ts． （3）如图2， 在Rt△PMQ中，PQ， 所以当ts时，PQ可以取得最小值． 【例3】已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F． （1）如图1，求证：△PBE∽△PDE； （2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长； （3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径，点P为圆心（PO＞0）的⊙P，试求 ①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围； ②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围． 【分析】（1）根据菱形性质得出∠ABD＝∠ADB，根据相似三角形的判定推出即可； （2）连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，求出FM长，得出CP取最小值时PE+PF+CP的值最小，得出P和O重合，求出即可； （3））①过P作PG⊥BC于G，设PB＝x，当P在线段BO上时，PO＝8﹣x，PGx，当OP＝PB时，⊙P经过P点，8﹣x＝x，求出x的值，即可得出答案；