专题20 角含半角模型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题20 角含半角模型问题 【规律总结】 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 类型二：正方形中角含半角模型 【典例分析】 例1．（2020·广西南宁市·九年级期中）（探索发现）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接AM、AN、MN． （1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程． （2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程． （3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，，，点N，M分别在边BC，CD上，，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2）,证明见解析；（3）． 【分析】 （1）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：； （2）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：； （3）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：； 【详解】 证明：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD，= 将绕点A顺时针旋转，得到 ∴≌ ∴ ∵ 在和中 ∵， ∴ （2）如图②，将绕点A顺时针旋转，得到 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD，= ∵绕点A顺时针旋转，得到 ∴≌ ∴ , ∵ 在和中 ∵， 即：； （3）如图， ∵，，， 将绕点A顺时针旋转，得到 ∴≌ ∴ 在和中 ； 【点睛】 本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键是学会． 例2．（2020·四川成都市·八年级期末）已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． （1）求证：； （2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； （3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析 【分析】 （1）连接,通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明≌，可以得出结论； （2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明≌，得到，最后等量代换线段即可求解； （3）延长到点，使得，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明≌，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：（1）证明：连接． ，， 为等腰直角三角形， ， 又，且， ， ， ， 同理，， 在与中 ， ≌， ，； （2）如图，在射线上取点，使，连接． 在与中 ， ≌， ，， ，， ， ， ， 在与中 ≌， ， 又， ． （3）．证明如下： 如图，延长到点，使得，连接． ， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 在与中 ， ≌， ， ≌， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】 本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键． 【好题演练】 一、单选题 1．（2021·上海九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】 利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】 解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB， ∴△ABF≌△ACD， ∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确， ∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确 无法判断BE＝CD，故①错误， 故选：C． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、填空题 2．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt△A