专题19 等腰旋转问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题19 等腰旋转问题 【规律总结】 等腰直角三角形在旋转变换下的探究性问题，是近几年中考数学命题的热点，其探究过程常与三角形的全等和相似、勾股定理、正方形的性质以及函数方程等知识有关，是一类对能力要求较高的问题。具体归纳为以下几种类型进行分析. 一、90°角绕直角顶点旋转 二、90°角绕斜边中点旋转 三、45°角绕直角顶点旋转 四、45°角绕斜边中点旋转 【典例分析】 例1．（2021·上海九年级专题练习）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30 ，DM=10． （1）在旋转过程中，当A，D，M为同一直角三角形的顶点时，AM的长为____； （2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，BD2的长为_____． 【答案】或． 【分析】 （1）由题意不是最长边，所以∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据，计算即可，当∠ADM=90°时，根据，计算即可． （2）连接．首先利用勾股定理求出，再利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】 解：（1）由题意不是最长边，所以∠MAD不能为直角． 当∠AMD为直角时，， ∴或（舍弃）． 当∠ADM=90°时，， ∴AM= 或（舍弃）． 综上所述，满足条件的AM的值为或 ． （2）如图2中，连接， 由题意：， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵∠BAC=， ∴， ∴， ∵AB=AC，， ∴（SAS）， ∴． 故答案为：（1）或 ，（2） 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例2．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若，点N为上一点，，求证：； （3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或 【分析】 （1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AB=4，BD=AB=1，即可得出的长； （2）在BD上截取DF=EN，可证出，由全等三角形的性质得AN=AF，，可得出，则，可得，即F是BC的中点，可得出AN=AF=FC=DF+CD=EN+CD； （3）由题意可得AD=AE，，，分三种情况：①AM=MD，②AM=AD，③AD=MD，根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴BC=2AB=4，， ∵ ∴， ∴BD=AB=1， ∴=BC-BD=4-1=3； （2）证明：如图2，在BD上截取DF=EN， ∵把绕点A逆时针旋转90°，得到， ∴AD=AE，，， ∵， ∴， ∴， ∴AN=AF，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵AN=AF， ∴， ∴，即F是BC的中点， ∴AF=FC=DF+CD=EN+CD， ∵AN=AF， ∴； （3）解：由题意可得AD=AE，， ∴， 分三种情况： ①AM=MD时， ∵AM=MD， ∴， ∴， ∵， ∴； ②AM=AD时， ∵AM=AD， ∴， ∵， ∴； ③AD=MD时， ∵AD=MD， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴当为等腰三角形时，的度数为或或． 【点睛】 本题主要考查了几何变换综合题，需要熟练掌握旋转的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题． 【好题演练】 一、单选题 1．（2021·上海九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】 根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决． 【详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴△AOE的面积＝△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD