专题18 等腰直角三角形构建三垂直全等问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题18 等腰直角三角形构建三垂直全等问题 【规律总结】 【典例分析】 例1．（2020·无锡市玉祁初级中学八年级月考）如图，，，，，垂足分别为、，，，则的长（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 证△CEB和△ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到结论； 【详解】 解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90°， ∴∠EBC+∠BCE=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠EBC=∠DCA， 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC ∴BE=DC，CE=AD ∵AD=2.5cm，DE=1.7cm， ∴CE=1.7cm， ∴DC=CE-DE=0.8cm， ∴BE=0.8cm； 故选：A． 【点睛】 本题考查垂直性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键． 例2．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，斜边交线段于点，若，则的长为________． 【答案】3 【分析】 作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，由勾股定理得出BC＝6，证出DG是△ABC的中位线，得出DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4，证明△MDG≌△EMH（ASA），得出MG＝EH，由三角形面积关系得出DG＝2EH＝3，得出MG＝EH＝，再证明∆DGF~∆EHF，从而求出GF，进而即可得出答案． 【详解】 作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，如图所示： 则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC＝， ∵DG∥BC，D是AB的中点， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4， ∵△DME是等腰直角三角形， ∴∠DME＝90°，DM＝ME， ∵∠DMG＋∠GDM＝∠DMG＋∠EMH＝90°， ∴∠GDM＝∠EMH， 在△MDG和△EMH中， ∴△MDG≌△EMH（ASA）， ∴MG＝EH， ∵S△MDF＝2S△MEF， ∴DG＝2EH＝3， ∴MG＝EH＝， ∵DG∥EH， ∴∆DGF~∆EHF， ∴， ∵GH=MH-MG=DG-MG=3-=， ∴GF=×=1， ∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3， 故答案是：3． ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 例3．（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点． （1）当时，求直线的解析式； （2）在（1）的条件下，如图2所示，设线段延长线上一点，作直线，过、两点分别作于点，于点，若，BN=3，求的长； （3）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，试猜想的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由． （4）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边，点为直角顶点，在第二象限作等腰直角，则动点在直线______上运动．（直接写出直线的解析式） 【答案】（1）y＝x＋5；（2）7；（3）的面积不改变，；（4）y=5-x． 【分析】 （1）令y＝0可求得x＝−5，从而可求得点A的坐标，令x＝0得y＝5m，由OA＝OB可知点B的纵坐标为5，从而可求得m的值； （2）依据AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质可知ON＝AM，OM＝BN，最后由MN＝AM＋BN可求得MN的长； （3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG＝5，然后证明△BFP≌△GEP，从而得到BP＝GP＝BG，进而求出的面积； （4）由△ABO≌△BEG，得BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0），从而得到点E的坐标，进而即可得到答案． 【详解】 （1）令y=0，代入，得，解得：x=-5， 令x=0，代入，得y=5m， ∴A（−5，0），B（0，5m）， ∵OA＝OB， ∴5m＝5，即m＝1． ∴直线的解析式为：y＝x＋5； （2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°， ∴∠AOM＋∠MAO＝90°， ∵∠AOM＋∠BON＝90°， ∴∠MAO＝∠NOB， 在△AMO和△ONB中， ， ∴△AMO≌△ONB， ∴ON＝AM，OM＝BN． ∵AM＝4，BN＝3， ∴MN＝AM＋BN＝7； （3）的面积不改变，理由如下： 如图3所示：过点E作EG⊥y轴于G点，连接AP， ∵△AEB为等腰直角三角形， ∴AB＝EB，∠ABO＋∠EBG＝9