专题04 等腰直角三角形构造三垂直模型-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题04 等腰直角三角形构造三垂直模型 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）． （1）求k值与一次函数y＝k1x＋b的解析式； （2）在x轴上有一动点P，求当PB+PC最小时P点坐标． （3）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标； 【答案】（1）k= ，y=x+2；（2）P(1，0)；（3）（﹣5，3）或（﹣2，5） 【分析】 （1）根据待定系数法求解即可； （2）作点B关于x轴对称的点B＇，连接B＇C，交x轴于点P，此时PB+PC最小，求出直线B＇C的解析式，求出直线B＇C与x轴的交点坐标即可； （3）分两种情况讨论：①当∠DAB=90°时；②当∠D＇BA=90°时，添加辅助线构造全等三角形进行求解即可． 【详解】 解：（1）由题意，将点C(3，4)代入y=kx中，得：4=3k， 解得：k= ， 再将点C(3，4)、点A（﹣3，0）代入y＝k1x＋b中，得： ， 解得：， ∴函数y＝k1x＋b的解析式为：y=x+2； （2）如图，作点B关于x轴对称的点B＇，连接B＇C，交x轴于点P，此时PB+PC最小， 在y=x+2中，令x=0，则y=2， ∴B(0，2)，则B＇（0，﹣2）， 设直线B＇C的解析式为y＝k2x﹣2， 将C（3，4）代入得：4=3k2﹣2，解得：k2=2， ∴直线B＇C的解析式为y＝2x﹣2， 令y=0，由0=2x﹣2得：x=1， ∴点P坐标为（1，0）； （3）根据题意，OA=3，OB=2，分两种情况： ①当∠DAB=90°时，DA=AB， 过点D作DM⊥x轴于E， ∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠DAM=∠ABO， ∵∠DMA=∠AOB=90°，DA=AB， ∴△DAM≌△ABO(AAS)， ∴DM=OA=3，MA=OB=2， ∴D(﹣5，3)； ②当∠D＇BA=90°时，D＇B=AB， 过D＇作D＇N⊥y轴于N， 同理可证△D＇BN≌△BAO(AAS)， ∴BN=OA=3，D＇N=OB=2， ∴D＇（﹣2，5）， 故点D的坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）． 【点睛】 本题是一次函数的综合题，主要考查待定系数法求一次函数的解析式、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何图形及最短路径相关问题、解二元一次方程组等知识，熟练掌握一次函数的相关知识，添加辅助线构造全等三角形和利用分类讨论的数学思想是解答的关键． 2．在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝BE﹣AD 【分析】 （1）由题意易得∠DAC+∠ACD＝90°，则∠DAC＝∠BCE，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质可求解； （2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE，进而可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解； （3）根据题意可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】 （1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE+CD＝AD+BE； （2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， ∵AC=BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）解：DE＝BE﹣AD，理由如下： ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， ∵AC=BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝BE﹣AD． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 3