专题17 和角平分线有关的辅助线问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题17 和角平分线有关的辅助线问题 【规律总结】 由角平分线想到的辅助线 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 （三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。 （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。 （五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线 【典例分析】 例1．（2020·盐城市盐都区实验初中八年级月考）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】 根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确． 【详解】 解：①∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴在△ABD和△EBC中，， ∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确； ②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE＝∠BDA， ∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确； ③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA， ∴∠DCE＝∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE＝EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC， ∴AD＝AE．③正确； ④过E作EG⊥BC于G点， ∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB， ∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，， ∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， ∴BG＝BF， ∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，， ∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL）， ∴AF＝CG， ∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确． 故选D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键． 例2．（2020·山东泰安市·七年级期末）如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______． 【答案】 【分析】 如图（见解析），设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得． 【详解】 如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E， 设，则， ， ， 是的平分线， ， ， 是的平分线，，， ， 同理可得：， ， 在和中，， ， ，即， 又， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键． 例3．（2021·北京顺义区·八年级期末）已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明． 【答案】AB=AC+BD，证明见详解． 【分析】