专题16 截长补短问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题16 截长补短问题 【规律总结】 “截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“a＋b＝c”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。 截长法： 在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。 补短法： ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。即延长a，得到b，证：a＋b＝c。 ②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。即延长a，得到c，证：b＝c-a。 【典例分析】 例1．（2020·广州大学附属中学八年级月考）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（ ） A．3 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】 在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可． 【详解】 在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE， 又∠B=2∠ADB ∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB， ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB， ∴∠DEC =∠EDC， ∴CD=CE， ∵，， ∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11． 故选：C． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 例2．（2021·上海九年级专题练习）如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AB＝CD，BF＝，则AD的长为________． 【答案】 【分析】 在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题． 【详解】 在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK． ∵EB=ET， ∴∠B=∠ETB， ∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2， ∴∠AET=∠2， ∵AE=CD，ET=CK， ∴△AET≌△DCK(SAS)， ∴DK=AT，∠ATE=∠DKC， ∴∠ETB=∠DKB， ∴∠B=∠DKB， ∴DB=DK， ∴BD=AT， ∴AD=BT， ∵BT=2BF=， ∴AD=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形． 例3．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°． （1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB； （2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF； （3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD． 【分析】 （1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB； （2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论； （3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论． 【详解】 解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60°， ∴∠BCD+∠ACE=120°， ∵∠AEC=60°， ∴∠ACE+∠EAC=120°， ∴∠BCD=∠EAC， 在△AEC和△CDB中 ∵, ∴△AEC≌△CDB（AAS）； （2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE， 由（1）知：△AEC≌△CDB， ∴BD=CE， ∵∠AEC=60°， ∴∠AEF =120°， ∵∠AFH ＝120°， ∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°， ∴∠FAE=∠GFH， ∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，