专题12 倍长中线问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题12 倍长中线问题 【规律总结】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【典例分析】 例1．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（ ） A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4 【答案】B 【分析】 先延长到，且，并连接，由于，，利用易证，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，可得，从而易求． 【详解】 解：延长到，使，连接，则AE=2AD， ∵，，， ∴， ， 在中，， 即， ∴． 故选：． 【点睛】 此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 例2．（2019·山东临沂市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____． 【答案】4 【分析】 根据垂直的定义得到∠BCD=，延长CD到H使DH=CD，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4． 【详解】 ∵ DC⊥BC， ∴ ∠BCD=， ∵ ∠ACB=， ∴ ∠ACD=， 如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ， ∵ D 为 AB 的中点， ∴ AD=BD， 在 ΔADH 与 ΔBCD 中， ， ∴ ΔADH≅ΔBCD(SAS)， ∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°， ∴点A到CD的距离为4， 故答案为：4． 【点睛】 本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 例3．（2021·辽宁葫芦岛市·九年级期末）在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转． （1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________； （2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由； （3）旋转过程中，若当时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）具有，证明见解析；（3）14或． 【分析】 （1）；当点落在的延长线上时，∠ADE=90º，点为的中点，直角三角形斜边中线的性质，再证△ACE≌△BCE（SAS）利用性质得AE=BE即可； （2）成立（具有）延长到点，使，连接，由点为的中点，可知是的中位线，有结论，先证，再证，即可； （3）分两种情况∠BCD再BC的左边与右边，构造Rt△ECH，∠HCE =60º或Rt△CGE，∠GCE=30º，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）结论即可． 【详解】 （1）当点落在的延长线上时，∠ADE=90º， ∵点为的中点， ∴AF=EF=FD， ∴， ∵BC=AC，∠ACB=90º，CD=DE，∠CDE=90º， ∴∠DCE=∠DEC=45º， ∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90º+45º=135º， ∴∠ACE=360º-∠ACB-∠BCE=360º-90º-135º =135º=∠BCE， ∵CE=CE， ∴△ACE≌△BCE（SAS）， ∴AE=BE， ∴， 故答案为：； （2）成立（具有） 证明： 延长到点，使，连接， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）14或． 过E作EH⊥BC于H， ∴在Rt△ECD中，CE=2， ∵∠BCD=105º， ∴∠HCE=105º-∠DCE=60º， ∴CH=，EH=， ∵BC=， ∴BH=BC-CH=-， ∴FD2=； 延长BC，过E作EG⊥BC于G， ∵∠BCD=105º，∠DCE=45º， ∴∠GCE=180º-∠ACD-∠DCE=30º， ∴GE=， ∴CG=， ∴ ∴FD2=． 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题考查直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，三角形的旋转变换，三角形中位线，解直角三角形，勾股定理的应用，涉及的知识多，习题难度大，关键是利用数形结合的思想画出准确的图形，画图时应注意分类来画是解题关键． 【好题演练】 一、单选题 1．（2021·全国八年级）如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】 如图，延长ED到T，使得DT＝DE，连接CT，TF，证明△EDB≌△TDC（SAS），推