专题10（圆锥曲线中的范围与最值问题)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题十 圆锥曲线中的范围与最值问题 圆锥曲线中的范围与最值问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的位置．本专题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 自我检测 1、 解答题 1. 如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部AB宽8米，顶点O距离地面6米． 以拱门顶点O为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程； 节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，如上图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值．灯笼看作点 【答案】解：以抛物线的顶点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则，， 设抛物线的标准方程为． 因为B点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的方程为 因为节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼， 所以设为灯笼所在点，为抛物线上设置牵引绳的点． 则， ， 当时，的最小值为，即一条牵引绳长度的最小值为． 【解析】本题主要考查抛物线标准方程，抛物线的实际应用，涉及两点间距离公式以及函数最值等基础知识，审清题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．考查学生转化能力与数学应用意识，属于中档题． 建立平面直角坐标系，求出，，设抛物线的标准方程，将B点代入求解即可得到抛物线的方程为 设为灯笼所在点，为抛物线上设置牵引绳的点则，利用函数求最值，即可得到牵引绳长度的最小值． 2. 已知椭圆M：经过如下四个点中的三个，，，，．Ⅰ求椭圆M的方程； Ⅱ设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点C，求面积的最大值． 【答案】解：因为点和关于原点对称， 所以由椭圆M的对称性和椭圆M过点、、、的三个知点和在椭圆M上， 而点和不可能同时在椭圆M， 因此椭圆M过点、、， 所以，解得 因此椭圆M的方程为． 当直线l的斜率为0时，设直线l的方程为． 由解得，因此，． 因为以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点， 所以， 而，， ，解得． 因为当时，B与C重合，A、B、C三点不能构成三角形， 所以不为所求，即直线l的斜率为0不存在． 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，． 由得， 则， ，． 因为以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点， 所以， 而，， 因此， 即， 所以， 把，代入得： ， 即，解得舍去或， 而当时，， 因此为所求，即直线l的方程为， 所以直线l恒过． 又因为面积 ， 设，则， 所以． 因为函数的图象开口向下， 对称轴为，而， 所以函数是增函数， 因此当时，函数取得最大值4， 所以的最大值为， 即面积的最大值为． 【解析】本题考查了二次函数，向量垂直的判断与证明，平面向量的坐标运算，椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的范围与最值问题，属于较难题． 利用椭圆的标准方程和椭圆的对称性，结合题目条件得椭圆M过点、、，再把点、的坐标代入椭圆的标准方程，计算得结论； 当直线l的斜率为0时，设直线l的方程为，由直线l的方程和椭圆M的方程解出点A与B的坐标，利用题目条件，结合向量垂直的判断得，再利用平面向量的坐标运算，计算得直线l的斜率为0不存在，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，由得， 从而得，，利用题目条件，结合向量垂直的判断得，再利用平面向量的坐标运算计算得，从而得直线l恒过，再计算面积，设，则，从而得，利用二次函数在定区间的最值，计算得结论． 3. 已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点． Ⅰ求的面积的最小值； Ⅱ证明：E，O，D三点共线． 【答案】解：Ⅰ由已知可设，， 由，可得，即， ， 由于， 当且仅当时取等号， 所以， 即； Ⅱ因为，， 所以AM的方程为， 由得 由，得， 同理可得， 因为，所以有， 所以有， 代入椭圆方程得， 因为，故M，N在x轴两侧，故， 因为，所以E，O，D三点共线． 【解析】本题考查椭圆与直线的位置关系，考查三角形面积的最值，以及三点共线的证明，属于较难题． Ⅰ利用已知设出坐标得到，由于，当且仅当时取等号， 所以，可得的面积的最小值； Ⅱ由已知及Ⅰ得AM的方程为，联立直线与椭圆得，同理可得，由解得，由M，N在x轴两侧，故，因为，所以E，O，D三点共线 4. 已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，过、两点，点M为抛物线上不同于A、B的点，并且介于A、B两点之间，点N为直线BM上一点，满足． Ⅰ求直线BM斜率k的取值范围； Ⅱ当取最大值时，求直线BM的方程． 【