专题10（圆锥曲线中的范围与最值问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题十 圆锥曲线中的范围与最值问题 圆锥曲线中的范围与最值问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的位置．本专题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 1.直击高考 例题1.（2020江苏，18题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，直线与椭圆E相交于另一点B． 求的周长 在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值 设点M在椭圆E上，记OAB与MAB的面积分别为，，若，求点M的坐标． 【分析】 本题考查了椭圆中的综合问题，考查了最值问题，考查了运算求解能力，属于难度较大的题目． 思维升华 此类问题常考察圆锥曲线的的方程及其性质，直线方程的几种形式，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公式等。该类问题的解题思路是“联立方程消元”、“点差法”、“设而不求”、“判别式法”等。在解题过程中要根据题目灵活选择方法。 【答案】解：的周长． 由椭圆方程得，设点，则直线AP方程为， 令得，即， ，即的最小值为 设O到直线AB的距离为，M到直线AB的距离为， 若，则3，即， 由可得直线AB方程为，即，所以，． 由题意得，M点应为与直线AB平行且距离为的直线与椭圆的交点， 设平行于AB的直线为，与直线AB的距离为， 所以，即或12． 当时，直线为，即， 联立可得，即或 所以或， 当时，直线为，即， 联立可得，，所以无解． 综上所述，M点坐标为或， 例2.（2017山东，21题）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的离心率为，焦距为2． 求椭圆E的方程； 如上图，动直线l：交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为，且是线段OC延长线上一点，且，的半径为，OS，OT是的两条切线，切点分别为S，求的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率． 【答案】解：由题意知，，解得，． 椭圆E的方程为． 设，， 联立，得． 由题意得． ，． ． 由题意可知圆M的半径r为． 由题意设知，，． 因此直线OC的方程为． 联立，得． 因此，． 由题意可知，． 而 ． 令，则，， 因此， ． 当且仅当，即时等式成立，此时． ，因此． 的最大值为． 综上所述：的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．