专题09（圆锥曲线中的轨迹问题)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题九 圆锥曲线中的轨迹问题 圆锥曲线中的轨迹问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的位置．本专题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 自我检测 1、 解答题 1. 已知点B是圆C：上的任意一点，点，线段BF的垂直平分线交BC于点P． 求动点P的轨迹E的方程； 设曲线E与x轴的两个交点分别为，，Q为直线上的动点，且Q不在x轴上，与E的另一个交点为M，与E的另一个交点为N，证明：的周长为定值． 【答案】解：由题意可知， 所以动点P的轨迹是以F，C为焦点且长轴长为4的椭圆， 所以，，， 因此E的方程为． 不妨设，，为直线上一点，，， 直线方程为，直线方程为， 由得， 得， 所以， 所以， 同理可得， 所以直线MN的方程为， 即， 故直线MN过定点 所以的周长为定值． 【解析】本题考查圆锥曲线中的轨迹问题，考查 圆锥曲线中的定点与定值问题，属于中档题．  由题意可知动点P的轨迹是以F，C为焦点且长轴长为4的椭圆，计算可得动点P的轨迹E的方程； 不妨设，，为直线上一点，，，直线方程为，直线方程为，与椭圆方程联立可得M、N，即可得直线MN的方程，从而可得直线MN过定点，即可得的周长为定值． 2. 在平面直角坐标系xOy中，，，P为不在x轴上的动点，直线PA，PB的斜率满足． 求动点P的轨迹的方程； 若M，N是轨迹上两点，，求面积的最大值． 【答案】解：设为轨迹上任意一点，则根据． 即，整理得动点P的轨迹的方程为：； 设MN：，联立，整理得，， 设，，则，， ， O到直线MN的距离， 所以面积， 设，则，解得或 又因为，故或 且，， 故的面积S最大值为． 【解析】设点，利用即可的动点P的轨迹方程； 设MN的方程为，与方程联立，利用根与系数关系表示出，再表示出点O到直线MN的距离d， 进而可表示出面积表达式，运用导数求出面积最值即可． 本题考查点的轨迹方程，涉及直线与椭圆形成三角形最值问题，利用根于系数关系表示线段长度是关键，属于中档题． 3. 已知点A，B在双曲线上，且点A，B关于直线对称，点A在直线直线与x轴的交点记为点上的投影为点A，点B在直线直线与x轴的交点记为点上的投影为点B，直线与BC相交于点M，记点M的轨迹为曲线 Ⅰ求曲线的方程 Ⅱ过点的直线与曲线交于P，Q两点，O为坐标原点，在x轴上是否存在定点S使得若存在，求出定点S的坐标若不存在，请说明理由。 【答案】解：设点A的坐标为，点B的坐标为，则，． 因为A，B两点关于直线对称， 所以 解得即 根据题意，点，点，点， 点， 所以， 即． 设点M的坐标为， 因此， 整理得， 所以曲线的方程为． Ⅱ假定在x轴上存在这样的定点S，使得，即． 设点P的坐标为，点Q的坐标为 根据题意，可知直线PQ不能与x轴重合． 当直线PQ的斜率不存在时，x轴上除坐标原点外的任意一点均满足条件 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为． 联立消去x并整理得， 因此 设点S的坐标为， 则 ， 因此为定值， 即点S的坐标为． 因此存在唯一的定点使得． 综上，在x轴上存在定点使得． 【解析】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线中的定点问题，属于难题． 设出点A，B的坐标，再根据A，B两点关于直线对称得设点，根据即可求解 Ⅱ当直线PQ的斜率不存在时，x轴上除坐标原点外任意一点均满足题意 当直线PQ的斜率存在时，设出直线PQ的方程，并与曲线联立，再根据即可求解． 4. 已知双曲线的两焦点为，，P为动点，若． 求动点P的轨迹E方程； 若，，，设直线l过点M，且与轨迹E交于R、Q两点，直线与交于点试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 【答案】解：Ⅰ由题意知：， 又， 动点P必在以，为焦点，长轴长为4的椭圆上， 则，又，， 椭圆C的方程为． Ⅱ由题意，直线l斜率不为0，可设直线l为：， 取，得，直线的方程是， 直线的方程是，交点为． 若，由对称性可知交点为． 若点S在同一条直线上，则直线只能为：． 以下证明对于任意的m，直线与直线的交点S均在直线：上． 由，得，即， 记，，则， 设与交于点，由，得， 设与交于点，由，得， ， ，即与重合， 这说明，当m变化时，点S恒在定直线：上． 【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化． 根据双曲线的方程得到，坐标，，由此知点P的轨迹E是以，为焦点且长轴长为4的椭圆，并能求出其方程． 设直线l的方程为，求出当时交点坐标，判断定直线可能为，将直线的方程