专题08（圆锥曲线中的面积问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题八 圆锥曲线中的面积问题 圆锥曲线面积问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的位置．本专题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 1.直击高考 例题1.（2018浙江，21题）如图，已知点P是y轴左侧不含y轴一点，抛物线C：上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． Ⅰ设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； Ⅱ若P是半椭圆上的动点，求面积的取值范围． 【分析】 本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法、中点坐标公式、椭圆的范围和三次函数的单调性等，属于难题． Ⅰ设，，，运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得，为关于y的方程的两根，由根与系数的关系即可得到结论； Ⅱ由题意可得，，，可得面积为，再由配方法和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围． 思维升华 此类问题常考察圆锥曲线的的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，三角形的面积，弦长公式，基本不等式等。该类问题对于计算能力的要求非常高，如果学生的计算能力是“无敌的”，那么就需要有什么技巧在里面，只要“硬算”就可以。但问题在于，学生的情况是“有思路但算不出来”，所以“计算技巧”也是值得注意的地方，如何去简便计算，最快得到结果，是做题时要注意的。 【答案】解：Ⅰ证明：可设，，， AB中点为M的坐标为， 抛物线C：上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上， 可得， ， 化简可得，为关于y的方程的两根， 可得，， 可得，所以点M与P的纵坐标相同， 则PM垂直于y轴； Ⅱ若P是半椭圆上的动点， 可得，，， 由Ⅰ可得，， 由PM垂直于y轴，可得面积为 ， 可令 ， 可得时，t取得最大值； 时，t取得最小值2， 即， 则在递增，可得， 所以面积的取值范围为 例2.（2017天津，19题）设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为． Ⅰ求椭圆的方程和抛物线的方程； Ⅱ设l上两点关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点异于点，直线BQ与x轴相交于点D，若的面积为，求直线AP的方程． 【答案】解：Ⅰ设F的坐标为， 依题意可得 解得，，， 于是，