专题07（与椭圆相关的定值、定点问题)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题七 与椭圆相关的定值、定点问题 定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 自我检测 一、解答题 1. 已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆E 交于A，B两点，且的周长为12． 求椭圆E的方程； 如图，点M在圆O：上，且M在第一象限，过M作圆O的切线交椭圆E于P，Q两点，求证：的周长是定值． 【答案】解：由，的周长为即，所以，， ， 所以椭圆方程为：； 设，，则， ， 因为，所以， 在圆中，M是切点， 所以， 所以， 同理， 所以， 因此的周长是定值6． 【解析】根据椭圆的离心率公式及，即可求得椭圆方程； 设，，利用两点之间的距离公式与点P在椭圆上，可得，再利用切线的性质可得，可得，同理，即可证明． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系，考查两点之间距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题． 2. 已知圆O：，椭圆C：离心率为，圆O上在一点P处的切线交椭圆C于两点M，N，当P恰好位于x轴上时，的面积为． 求椭圆C的方程； 试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】解：因为椭圆离心率为， 所以，即， ， 所以椭圆C的方程为， 又因为圆O上P恰好位于x轴上时，P处的切线交椭圆C于两点M，N，的面积为． 所以由对称性可知点P有两种情况，不妨以点去分析， 把，代入椭圆方程得，， 所以， 所以， 所以，，， 所以椭圆C方程为以． 设，， 则切线方程为，即， 联立切线与椭圆的方程得， ，， ， ， 所以， ， ， ， 因为点P在圆，所以，代入上式， 所以定值． 【解析】由离心率为，圆O上P恰好位于x轴上时，P处的切线交椭圆C于两点M，N，的面积为解得a，b，c进而的椭圆的方程． 设，，则切线方程为，即，联立切线与椭圆的方程得，得，，，，用坐标表示，化简，即可得出结论． 本题考查直线与圆，椭圆的位置关系，属于中档题． 3. 已知椭圆E：的离心率为，，为E的左、右焦点，动点P在直线1：上，过P作E两条切线，切点分别为M，且． 求椭圆E的方程； 如图，过，分别向PM，PN作垂线，垂足分别为A，B，C，D． 证明：为定值； 记和的面积分别为，求的取值范围． 【答案】解：由，解得． 故椭圆E的方程为； 证明：设，则PM：， 即． ； 解：设，过P点的切线方程为：， 联立，得． 由，得，即． 设PM，PN的斜率分别为，，则，． 由知，，． ． 【解析】由已知列关于a，b，c的方程组，解得a，b，c的值，则椭圆方程可求； 设，则写出PM的方程，利用点到直线的距离公式写出，化简即可证明为定值； 设，过P点的切线方程为：，联立直线方程与椭圆方程，得关于x的一元二次方程，由得设PM，PN的斜率分别为，，则，，结合知，，，把转化为关于k与t的代数式即可求得取值范围． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题． 4. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，A为椭圆C上一动点异于左右顶点，面积的最大值为． 求椭圆C的方程； 设过点的直线的斜率存在且不为与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】解：面积的最大值为，则：， 又，，解得：，， 椭圆C的方程为：． 为定值， 设直线， 设，，线段AB的中点为， 由，消去x可得：， 恒成立     ， ，    ，则，  即， 直线， 令，则，， 故为定值 【解析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定值问题，考查圆锥曲线中的探索性问题考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由题意可得，由椭圆的离心率及性质，可求出a，b，从而可得椭圆C的方程； 设直线，设，，则，将直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理及弦长公式，进而可推出为定值． 5. 设，是椭圆C：上两点，已知，若且椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点． 求椭圆的方程； 试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 【答案】解：依题意知， ，， ，， 椭圆的方程为． 当直线AB斜率不存在时，即，， ，，， 又在椭圆上，所以， ，， ， 所以三角形的面积为定值． 当直线AB斜率存在时：设AB的方程为， 消去y得， ， ，， 而，， 即代入整理得， ， 综上三角形的面积为定值1． 【解析】考查椭圆方程以及直线和椭圆相关综合问题，难度中档． 依题意可求得b，进而根