专题07（与椭圆相关的定值、定点问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题七 与椭圆相关的定值、定点问题 定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 1.直击高考 例题1.（2020湖南，21题）已知A，B分别为椭圆E：的左、右顶点，G为E的上顶点，为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． 求E的方程； 证明：直线CD过定点． 【分析】 根据椭圆的几何性质，可写出A、B和G的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于a的方程，解之即可； 设，，，然后分两类讨论：，设直线CD的方程为，写出直线PA和PB的方程后，消去t可得，结合，消去，可得，然后联立直线CD和椭圆的方程，消去x，写出韦达定理，并将其代入上式化简整理得关于m和n的恒等式，可解得或舍，从而得直线CD过定点；若，则直线CD的方程为，只需验证直线CD是否经过点即可． 本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，涉及分类讨论的思想，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 思维升华 解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质．对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的概念及几何性质的基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓． 这类题型的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目的条件整体化简。也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目条件，因题而异。 【答案】解：由题设得，，，，则，， 由得，即， 所以E的方程为． 设，，， 若，设直线CD的方程为，由题可知，， 由于直线PA的方程为，所以，同理可得， 于是有． 由于，所以， 将其代入式，消去，可得，即， 联立得，， 所以，， 代入式得， 解得或因为，所以舍， 故直线CD的方程为，即直线CD过定点． 若，则直线CD的方程为，也过点． 综上所述，直线CD过定点． 例2.（2020山东，22题）已知椭圆的