专题06（与圆相关的定值、定点问题)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题六 与圆相关的定值、定点问题 圆的综合问题还可能会考查与圆有关的定点、定值问题，这类问题的解决往往先从特殊情况入手，探究出相应的定点、定值。当然，解题时要结合圆的几何性质，利用几何知识能使问题较为简捷地得到解决。 自我检测 一、单项选择题 1. 在直角坐标平面内，过定点P的直线与过定点Q的直线相交于点M，则的值为 A. B. C. 25 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离公式、圆有关的轨迹问题的相关知识，试题难度一般 【解答】 解：由题意可知，，，且， 在以PQ为直径的圆上． 又， ， 故选C． 2. 任意实数时，直线恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为    A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程，属于基础题目． 【解答】 解：已知直线， 即：， 定点C坐标，解得． 则以C为圆心，为半径的圆的方程为． 即：． 故选C． 3. 点M为抛物线上任意一点，点N为圆上任意一点，若函数的图象恒过定点P，则的最小值为    A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查抛物线的定义和性质的应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想，属于中档题． 求出P的坐标，利用抛物线的定义，可得当P，M，Q三点共线时，取得最小值，即可得出结论． 【解答】 解：函数恒过定点， 抛物线方程为，焦点，准线l的方程为， 圆的标准方程为， 其圆心为，半径， 如图，过点M作于点Q， 由抛物线定义可知， 则 ， 当P，M，Q三点共线时取等号，如图所示 所以的最小值为， 故选A． 4. 已知曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此直线方程为    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题． 依题意设过A，B点的圆的方程为，再将C点坐标代入，求得，得到圆C方程为，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，即弦长与字母m无关，即可解答． 【分析】 解：曲线与x轴交于A，B两点，圆Q过A，B两点， 故可设圆方程为， 又圆Q过点C的坐标为 则  ，所以，                          所以圆C方程为，        当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值， 即弦长与字母m无关，则， 此时，弦长为定值3， 故选A． 5. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线l经过点若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为    A. B. C. D. 这样的直线不存在 【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题． 根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值，当直线l的斜率不存在时，经过检验不符合条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由圆心C到直线l的距离为定值求得k的值，从而求得直线l的方程． 【解答】 解：圆， 即，表示以为圆心，半径等于3的圆． 直线l经过点，对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值， 则圆心C到直线l的距离为定值， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，圆心C到直线l的距离为，不是定值， 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为，即， 此时圆心C到直线l的距离为定值，与m无关， 故，故直线l的方程为，即， 故选C． 6. 在正四面体中，点P为所在平面上的动点，若AP与AB所成角为定值，，则动点P的轨迹不可能是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】A 【解析】解：由题正四面体中，顶点A在底面BCD的射影O为下底面的中心，则以O为坐标原点，OB为x轴，OA为z轴，立如图所示的空间直角坐标系， 延长BO交CD与E， 设，据题意得：． 所以0，，0，，设y， 则0，，y，， ； ， 当小于0时，表示双曲线， 当其等于0时，表示抛物线； 当其大于0时，表示椭圆． 故选：A． 建立空间直角坐标系，根据题意，求出P的轨迹方程，可得其轨迹． 本题主要考查分类讨论思想的应用以及轨迹方程的求法及判断，属于中档题目，解决本题的关键在于建立空间直角坐标系求出点的坐标满足的等量关系． 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线l经过点若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为    A. B. C. 这样的直线不存在 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查圆的标准