专题10 解答题综合练（二）-2021年新高考数学二轮复习常规题型专练

2021年新高考数学二轮复习题型专练： 解答题综合练（二） 一、解答题 1.已知数列{bn}的前n项和为Sn,Sn+bn=2,等差数列{an}满足b1a2=3,b1+a5=7. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)证明:a1b2+a2b3+…+anbn+1<3. （1）解∵Sn+bn=2,∴当n=1时,b1=S1=2-b1,∴b1=1. 当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2-bn-2+bn-1,整理得bn=bn-1. ∴数列{bn}是以1为首项,为公比的等比数列, ∴bn= 设等差数列{an}的公差为d, ∵b1a2=3,b1+a5=7, 解得 ∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1. (2)证明设Tn=a1b2+a2b3+…+anbn+1=2+3+…+(n+1), Tn=2+3+…+(n+1), 两式相减可得 Tn=1++…+-(n+1)=1-(n+1) ∴Tn=3-, 即a1b2+a2b3+…+anbn+1=3- >0, ∴a1b2+a2b3+…+anbn+1<3. 2.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1. (1)证明:BE⊥平面EB1C1; (2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值. (1)证明由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1. (2)解由(1)知∠BEB1=90°. 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E, 所以∠AEB=45°, 故AE=AB,AA1=2AB. 以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),=(1,-1,1),=(0,0,2). 设平面EBC的法向量为n=(x,y,z), 则 所以可取n=(0,-1,-1). 设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z), 则 所以可取m=(1,1,0). 于是cos<n,m>==- 所以,二面角B-EC-C1的正弦值为 3.某工厂生产A,B两种产品,其质量按测试指标划分,指标大于或等于88为合格品,小于88为次品.现随机抽取这两种产品各100件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 [80,84) [84,88) [88,92) [92,96) [96,100] 产品A 6 14 42 31 7 产品B 8 17 40 30 5 (1)试分别估计产品A,B为合格品的概率; (2)生产1件产品A,若是合格品则盈利45元,若是次品则亏损10元;生产1件产品B,若是合格品则盈利60元,若是次品则亏损15元.在(1)的前提下,①X为生产1件产品A和1件产品B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;②求生产5件产品B所得利润不少于150元的概率. 解：(1)由题意知,产品A为合格品的概率约为, 产品B为合格品的概率约为 (2)①随机变量X的所有可能取值为-25,30,50,105. P(X=-25)=; P(X=30)=; P(X=50)=; P(X=105)= 所以随机变量X的分布列为 X -25 30 50 105 P E(X)=(-25)+30+50+105=75.25. ②生产的5件产品B中,合格品为3,4,5件时,所得利润不少于150元,记“生产5件产品B所得利润不少于150元”为事件M, 则P(M)= 4.设椭圆E:=1(a>b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点. (1)求椭圆E的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围:若不存在,请说明理由. 解：(1)将M,N的坐标代入椭圆E的方程, 得解得a2=8,b2=4. 所以椭圆E的方程为=1. (2)假设满足题意的圆存在,其方程为x2+y2=R2,其中0<R<2. 设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 当直线AB的斜率存在时,令直线AB的方程为y=kx+m,① 将其代入椭圆E的方程并整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. 由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=② 因为,所以x1x2+y1y2=0.③ 将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入③,得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.④ 将②代入④,得m2=(1+k2).⑤ 因为直线AB和圆相切,所以R=, 将其代入⑤得R=,所以存在圆x2+y2=满足题意. 当切线AB的斜率不存在时,易得