专题09 解答题综合练（一）-2021年新高考数学二轮复习常规题型专练

2021年新高考数学二轮复习题型专练： 解答题综合练（一） 一、解答题 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2 (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b. 解:(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2, 故sinB=4(1-cosB). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB= (2)由cosB=得sinB=,故S△ABC=acsinB=ac. 又S△ABC=2,则ac= 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB =(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4. 所以b=2. 2.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天): 锻炼人次 空气质量等级　　　　　 [0,200] (200,400] (400,600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率; (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关? 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表: 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为(100×20+300×35+500×45)=350. (3)根据所给数据,可得2×2列联表: 人次≤400 人次>400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得K2=5.820. 由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 3.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD= (1)求证:PD⊥平面PAB; (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值; (3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由. 答案：(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB. (2)解取AD的中点O,连接PO,CO. 因为PA=PD,所以PO⊥AD. 又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD. 因为CO⊂平面ABCD, 所以PO⊥CO. 因为AC=CD, 所以CO⊥AD. 如图建立空间直角坐标系O-xyz. 由题意,得点A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则 令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2). 又=(1,1,-1), 所以cos<n,>==- 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 (3)解设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1]使得= 因此点M(0,1-λ,λ),=(-1,-λ,λ). 因为BM⊄平面PCD, 所以BM∥平面PCD当且仅当n=0, 即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ= 所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD,此时 4.已知椭圆C:=1(0<m<5)的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点. (1)求C的方程; (2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积. 解：(1)由题设可得,得m2=,所以C的方程为=1. (2)设点P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0. 由已知可得点B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5), 所以|BP|=yP,|BQ|= 因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3. 由直线BP的方程得yQ=2或8.