专题07（大题专练）：解析几何综合问题-2021年新高考数学二轮复习常规题型专练

2021年新高考数学二轮复习题型专练（大题专练）：解析几何综合问题 1.已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|. (1)求C1的离心率; (2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程. 解：(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c= 不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=,|CD|=4c. 由|CD|=|AB|得4c=,即3=2-2, 解得=-2(舍去),所以C1的离心率为 (2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:=1. 设M(x0,y0),则=1,=4cx0,故=1.① 由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3. 所以C1的标准方程为=1,C2的标准方程为y2=12x. 2.已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点,离心率为 (1)求椭圆C的方程; (2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P0,-,求直线l的方程. 解：(1)由题意得解得a=2,b=1. 故椭圆C的方程是+y2=1. (2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0, 则有x1+x2=,x1x2= Δ>0⇒4k2+1>t2, y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=, y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2 =k2+kt+t2= 因为以AB为直径的圆过坐标原点, 所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0. 因为x1x2+y1y2==0, 所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2, 解得t<-或t> 又设A,B的中点为D(m,n), 则m=,n= 因为直线PD与直线l垂直, 所以kPD=-,得 由解得 当t=-时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±, 所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1. 3.已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程; (2)证明:直线CD过定点. 答案：(1)解由题设得点A(-a,0),B(a,0),G(0,1). 则=(a,1),=(a,-1). 由=8得a2-1=8,即a=3. 所以E的方程为+y2=1. (2)证明设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t). 若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n, 由题意可知-3<n<3. 因为直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3). 直线PB的方程为y=(x-3),所以y2=(x2-3). 可得3y1(x2-3)=y2(x1+3). 由于=1,故=-, 可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)·(y1+y2)+(n+3)2=0.① 将x=my+n代入+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0. 所以y1+y2=-,y1y2= 代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0. 解得n=-3(舍去),n= 故直线CD的方程为x=my+,即直线CD过定点 若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点 综上,直线CD过定点 4.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N. (1)求直线l的斜率的取值范围; (2)设O为原点,==,求证:为定值. 答案：(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2), 所以4=2p,解得p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x. 由题意可知直线l的斜率存在且不为0, 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0). 由得k2x2+(2k-4)x+1=0. 依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0, 解得k<0或0<k<1. 又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3. 所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)证明设点A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)知x1+x2=-,x1x2= 直线PA的方程为y-2=(x-1). 令x=0,得点M的纵坐标为yM=+2=+2. 同理得点N的纵坐标为yN=+2. 由