专题01 三角函数的图像与性质-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题01 三角函数的图像与性质 【要点提炼】 1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 递增 区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2))) [2kπ－π，2kπ] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2))) 递减 区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) [2kπ，2kπ＋π] 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (kπ，0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0)) 对称轴 x＝kπ＋eq \f(π,2) x＝kπ 周期性 2π 2π π 2.三角函数的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数； 当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)求得. (2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时为奇函数； 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. (3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y＝sin xeq \o(――——————————→,\s\up11(向左(φ＞0)或向右(φ＜0)),\s\do4(平移|φ|个单位)) y＝sin(ωx＋φ)eq \o(――——————————→,\s\up11(纵坐标变为原来的A倍),\s\do4(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0). y＝sin ωxeq \o(―————————————―→,\s\up11(向左(φ＞0)或向右(φ＜0)),\s\do4(平移|\f(φ,ω)|个单位)) y＝sin(ωx＋φ)eq \o(————————————―→,\s\up11(纵坐标变为原来的A倍),\s\do4(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0). 【方法指导】 已知函数 的图像求解析式的方法：（1） ；（2）由函数的周期 求 ，则 ；（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求 。 运用整体换元法求解单调区间与对称性问题：类比 的性质，只需将 中的“ ”看成 中的“ ”，采取整体代入求解。（1）令 ，可求得对称轴方程；（2）令 ，可求得对称中心的横坐标；（3）将“ ”看作整体，可求得 的单调区间，注意 的符号。 命题点一： 三角函数的图像 考向一 三角函数的图像变换 【典例1】 1．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））已知函数 的图像关于直线 对称，将函数 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像，则 在 上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由对称性求得 ，由平移求得 的表达式，再求出 的范围，结合正弦函数性质得值域． 【详解】 ∵函数 的图像关于直线 对称， ，又 ，可得 ， 故 ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ， 故选：A． 【方法总结】 1.“五点法”作图：设 ，令 求出 的值与相应 的的值，描点、连线可得。 2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量 而言的，如果 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 【拓展练习】 （2020·江苏南通市·高三月考）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数 ，已知函数 的图象向右平移 个单位后，与纯音的数学模型函数 图象重合，则 ______，若函数 在 是减函数，则 的最大值是______. 【答案】 【分析】 将函数 的图象向左平移 个单位后可得到函数 的图象，结合诱导公式可求得 的值，求得函数 的单调递减区间，由 属于该区间求得 的值，再由区间的包含关系可求得 的最大值. 【详解】 将函数 的图象向左平移 个单位后可得到函数 的图象， 则 ， 又 ， ， 令 ，解得 ， 所以，函数 的单调递减区间为 ， 由 ，可得 ， 由于函数 在区间 上单调递减，则 ， 所以， ，解得 ，则 的最大值为 . 故答案为： ； . 【点睛】 本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题. 考向二 由函数的图象特征求解析式