6.3.2 二项式系数的性质与杨辉三角（作业）-【上好课】2020-2021学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2 二项式系数的性质与杨辉三角 一、单选题 1．（2021·浙江金华市·高三期末）在的展开式中常数项是（ ） A．60 B．120 C．160 D．960 【答案】C 【详解】 的展开式中的通项公式为， 令，则， 故常数项为第4项且为， 故选：C. 2．（2021·新疆高三其他模拟（理））的展开式中含项的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由， 则二项式的展开式 当，此时， 此时可得展开式中项的系数为. 故选：B. 3．（2021·全国高二课时练习）在的展开式中，含项的系数是（ ） A．40 B．80 C． D． 【答案】A 【详解】 解：的展开式中，含项的系数就是的展开式中，含项的系数减去含项的系数， 因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中，含项的系数为 故选：A 4．（2021·长沙市·湖南师大附中高二期末）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ） A．－34 B．－672 C．84 D．672 【答案】B 【详解】 由已知，，则，所以. 令，得，所以常数项为， 故选：B． 5．（2020·全国高三专题练习（理））若，且，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】 令，得到， 令，得到， ∴，即，， 解得或， 故选：B. 6．（2021·江苏南通市·高二开学考试）已知展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（ ）． A．-14 B．-13 C．1 D．2 【答案】B 【详解】 由条件可知，，所以， 则，其中常数项分为两部分，的常数项是，的常数项是中含项的系数，，所以常数项是. 故选：B 7．（2020·全国高三专题练习）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由“杨辉三角形”可知：第一行1个数，第二行2个数，...，第n行n个数， 所以前n行共有：，当时，， 所以第2020项是第64行的第4个数字，即为， 故选：A. 8．（2020·全国）如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为（ ） A．55 B．89 C．120 D．144 【答案】A 【详解】 由题意，可知， ， 故选A. 二、多选题 9．（2021·全国高二课时练习）对于展开式的二项式系数下列结论正确的是（　　） A． B． C．当为偶数时， D． 【答案】ABC 【详解】 对于A，由组合数的运算直接可得，故A正确； 对于B，由杨辉三角直接可得，故B正确； 对于C，二项式展开式中，令，不论为奇数还是偶数，都可得，故C正确； 对于D，由选项C可知，故D错误. 故选：ABC 10．（2021·全国高二课时练习）的展开式中（ ） A．的系数为40 B．的系数为32 C．常数项为16 D．常数项为8 【答案】AC 【详解】 ，展开式中的系数分为两部分，一部分是中含的系数，另一部分是中含项的系数，所以含的系数是，故A正确；展开式中常数项只有展开式的常数项，故C正确. 故选：AC 11．（2021·湖北襄阳市·高三期末）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 令，则，A对， 令，则，令，则， ∴，，B对，C错， 令，则，又，则，D对， 故选：ABD. 12．（2020·广东揭阳市·高二期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： C．由“第行所有数之和为”猜想： D．由“，，”猜想 【答案】ABC 【详解】 由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 13．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，若把其展开式中所有的项重新排列，则有理项互不相邻的概率为___________. 【答案】 【详解】 由，得， 所以的展开式中的通项为， 当，6时为有理项，其余7项为无理项， 所以有理项互不相邻的概率为. 故答案为： 14．（2020·江苏苏州市·高二期中）二项式的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数n的值为___________. 【