数学探究　杨辉三角的性质与应用-【上课小助手】2020-2021学年高二数学同步备课（人教A版2019选择性必修第三册）

数学探究　杨辉三角的性质与应用 二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？ 45 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 一般地，对于n ∈ N*有 二项定理: 相关知识阅读 杨辉三角的历史沿革 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算． 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶(约公元1050年)贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”． 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”． 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚． 在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”． 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有： 贾宪　中国北宋　11世纪　《释锁算术》 杨辉　中国南宋1261　《详解九章算法》　记载之功 朱世杰　中国元代　1299　《四元玉鉴》　级数求和公式 阿尔·卡西　阿拉伯　1427　《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯　德国　1527 米歇尔．斯蒂费尔　德国　1544　《综合算术》　二项式展开式系数 薛贝尔　法国　1545 B·帕斯卡　法国　1654　《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页. 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 对称性 n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20