专题6弦图与垂直模型-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题6弦图与垂直模型 ( 经典例题 ) 【例1】（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？ （2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值； （3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF． 【分析】（1）先判断出AB＝AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF＝∠DAE，进而得出△ABF≌△DAE，即可得出结论； （2）构造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CGAB，再判断出△AFB∽△CFG，即可得出结论； （3）先构造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD＝∠CBP，进而判断出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出△CFP∽△AFB，建立方程即可得出结论． 【解析】（1）BF＝AE，理由： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠BAE+∠DAE＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠DAE， 在△ABF和△DAE中，， ∴△ABF≌△DAE， ∴BF＝AE， （2）如图2， 过点A作AM∥BC，过点C作CM∥AB，两线相交于M，延长BF交CM于G， ∴四边形ABCM是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴▱ABCM是矩形， ∵AB＝BC， ∴矩形ABCM是正方形， ∴AB＝BC＝CM， 同（1）的方法得，△ABD≌△BCG， ∴CG＝BD， ∵点D是BC中点， ∴BDBCCM， ∴CGCMAB， ∵AB∥CM， ∴△AFB∽△CFG， ∴2； （3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝5， ∵点D是BC中点， ∴BDBC＝2， 过点A作AN∥BC，过点C作CN∥AB，两线相交于N，延长BF交CN于P， ∴四边形ABCN是平行四边形， ∵∠ABC＝90°，∴▱ABCN是矩形， 同（1）的方法得，∠BAD＝∠CBP， ∵∠ABD＝∠BCP＝90°， ∴△ABD∽△BCP， ∴， ∴， ∴CP， 同（2）的方法，△CFP∽△AFB， ∴， ∴， ∴CF． 【例2】【探究证明】：（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明． 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H． 求证：； 【结论应用】：（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为　　； 【联系拓展】：（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则　　． 【分析】【探究证明】：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP＝EF，GH＝BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； 【结论应用】：只需运用（1）中的结论，就可得到，就可解决问题； 【联系拓展】：过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝4+x，RD＝8﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2＝16①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（4+x）2+（8﹣y）2＝64②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决． 【解析】【探究证明】过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形， ∴AP＝EF，GH＝BQ． 又∵GH⊥EF， ∴AP⊥BQ， ∴∠QAT+∠AQT＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠D＝90°， ∴∠DAP+∠DPA＝90°， ∴∠AQT＝∠DPA． ∴△PDA∽△QAB， ∴， ∴． 【结论应用】：如图2， ∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）中的结论可得，， ∴， 故答案为． 【联系拓展】：过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3， 则四边形ABSR是平行四边形． ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABSR是矩形， ∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝8，AR＝BS． ∵AM⊥DN， ∴由（1）中的结论可得． 设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝4+x，RD＝8﹣y， ∴在Rt△CSD中，x2+y2＝16①， 在Rt△