专题5中点模型-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题5中点模型 ( 经典例题 ) 【例1】．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点． （1）图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM＝PN　，位置关系是　PM⊥PN　． （2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由． （3）把△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，如果∠ABD＝30°（D在Rt△ABC内部，如图3），AB＝BD， 求证：AD＝CD． 【分析】（1）利用三角形的中位线得出PMCE，PNBD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PMBD，PNBD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出∠BAG＝60°，AGABAC，进而求出∠BAD＝∠BDA＝75°，即可得出∠GAD＝∠DAC，进而得出△ADG≌△ADH，得出AH＝AG，即可得出结论． 【解析】（1）∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PNBD， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PMCE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∴PM＝PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN， （2）△PMN是等腰直角三角形，理由： 由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PNBD，PMCE， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN是等腰直角三角形， （3）如图3，过点A作AG⊥BD于G，过点D作DH⊥AC于H， ∴∠BAG＝60°，AGABAC， ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝75°， ∴∠GAD＝15°，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝15°， ∴∠GAD＝∠DAC， ∴△ADG≌△ADH， ∴AH＝AG， ∴AHAC， ∴CH＝AH， ∵DH⊥AC， ∴AD＝CD． 【例2】如图，△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠FAC∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE． （1）若∠ABC＝60°，BP＝AQ． ①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系； ②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由； （2）若∠ABC＝2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）． 【分析】（1）①先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出∠CBP＝∠CAQ，即可判断出△BPC≌△AQC，再判断出△PCQ是等边三角形，进而得出CE＝QE，即可得出结论； ②同①的方法即可得出结论； （2）先判断出，∠PAQ＝90°﹣∠ACQ，∠BAP＝90°﹣∠ACQ，进而得出∠BCP＝∠ACQ，即可判断出△BPC∽△AQC，最后用锐角三角函数即可得出结论． 【解析】（1）①DEAQ，DE∥AQ， 理由：连接PC，PQ， 在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∵AB＝BC，BD⊥AC， ∴AD＝CD，∠ABD＝∠CBD∠BAC， ∵∠CAF∠ABC， ∴∠CBP＝∠CAQ， 在△BPC和△AQC中，， ∴△BPC≌△AQC（SAS）， ∴PC＝QC，∠BPC＝∠ACQ， ∴∠PCQ＝∠PCA+∠AQC＝∠PCA+∠BCP＝∠ACB＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∵PE⊥CQ， ∴CE＝QE， ∵AD＝