专题4一线三等角模型-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题4一线三等角模型 ( 经典例题 ) 【例1】（1）模型探究：如图1，D、E、F分别为△ABC三边BC、AB、AC上的点，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE与△CFD相似吗？请说明理由； （2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD＝2． ①如图2，当点D在线段BC上时，求的值； ②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求△BDE与△CFD的周长之比． 【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BED＝∠CDF，即可得出结论； （2）①同（1）的方法判断出△BDE∽△CFD，得出比例式，再设出AE＝x，AF＝y，进而表示出BE＝8﹣x，CF＝8﹣y，CD＝6，代入比例式化简即可得出结论； ②同①的方法即可得出结论． 【解析】（1）△BDE∽△CFD， 理由：∠B＝∠C＝∠EDF＝a， 在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣α， ∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°， ∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣α， ∴∠BED＝∠CDF， ∵∠B＝∠C， ∴△BDE∽△CFD； （2）①设AE＝x，AF＝y， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8， 由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°， 在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°， ∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°， ∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°， ∴∠BED＝∠CDF， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AC﹣AF＝8﹣y，CD＝BC﹣BD＝6， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设AE＝x，AF＝y， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝8， 由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°， 在△BDE中，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°， ∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°， ∴∠BED＝∠CDF， ∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBE＝∠DCF＝120°， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AF﹣AC＝y﹣8，CD＝BC+BD＝10， ∴， ∴， ∴． ∵△BDE∽△CFD， ∴△BDE与△CFD的周长之比为． 【例2】（1）观察推理：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A、B在直线l的同侧，垂足分别为E、D．求证：△AEC≌△CDB． （2）类比探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积． （3）拓展提升：如图③，在△EBC中，∠E＝∠ECB＝60°．EC＝BC＝3，点O在BC上，且OC＝2，动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间t． 【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠EAC＝∠BCD，则可根据“AAS”证明△AEC≌△CDB； （2）作B′D⊥AC于D，如图2，先证明△B′AD≌△ABC得到B′D＝AC＝4，然后根据三角形面积公式计算； （3）如图3，利用旋转的性质得∠FOP＝120°，OP＝OF，再证明△BOF≌△CPO得到PC＝OB＝1，则EP＝EC+PC＝3+1＝4，然后计算点P运动的时间t． 【解析】（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝90°， ∵BD⊥l，AE⊥l， ∴∠AEC＝∠BDC＝90°， ∴∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠EAC＝∠DCB， 又∵AC＝BC， ∴△AEC≌△CDB（AAS）； （2）如图2，作B′D⊥AC于D， ∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′， ∴AB′＝AB，∠B′AB＝90°， 即∠B′AC+∠BAC＝90°， 而∠B+∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠B′AC， ∴△B′AD≌△ABC（AAS）， ∴B′D＝AC＝4， ∴△AB′C的面积4×4＝8； （3）如图3，∵OC＝2， ∴OB＝BC﹣OC＝1， ∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF， ∴∠FOP＝120°，OP＝OF， ∴∠1+∠2＝60°， ∵△BCE为等边三角形， ∴∠