专题3对角互补模型-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题3对角互补模型 ( 经典例题 ) 【例1】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F （1）求证：四边形PEBF是正方形； （2）连结AP，过点P作AP的垂线交直线BC于点G： ①当点G在BC边上时（如图2），若AB＝7，BG＝1，求AP的长； ②请直接写出线段PB，PD，BG之间的数量关系． 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可． （2）①如图2﹣1中，连接AG，取AG的中点K，连接PK，BK．证明P，A，BG四点共圆，利用圆周角定理即可解决问题． ②PB﹣PDBG．利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【解析】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠DBC＝∠ABD＝45°， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠PEB＝∠PFB＝∠EBF＝90°， ∴四边形PEBF是矩形， ∵∠FBP＝∠FPB＝45°， ∴FB＝FP， ∴四边形PEBF是正方形． （2）①解：如图2﹣1中，连接AG，取AG的中点K，连接PK，BK． ∵∠ABG＝∠APG＝90°， ∴KP＝KB＝KA＝KG， ∴A，B，G，P四点共圆， ∴∠GAP＝∠GBP＝45°， ∴∠GAP＝∠AGP＝45°， ∴PA＝PG， ∵AG5， ∴PA＝PG＝5． ②结论：①当点G在线段BC上时，PB﹣PDBG． 理由：∵∠APG＝∠EPF＝90°， ∴∠APE＝∠GPF， ∵PA＝PG，∠PEA＝∠PFG＝90°， ∴△PEA≌△PFG（AAS）， ∴AE＝GF， ∵四边形PEBF是正方形， ∴BE＝BFBP， ∴BG+AB＝BF﹣FG+BE+AE＝2BE， ∴BG（PB+PD）PB， ∴BG＝PB+PD＝2PB， ∴PB﹣PDBG． ②当点G在CB的延长线上时，同法可证：PD﹣PBBG． 【例2】已知，矩形ABCD中，BC＝2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P在对角线BD上，连接AP，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F． （1）当∠PBA与∠PAB互余（如图a）时，求证：BEMFAB； （2）当∠PBA与∠PAB相等（如图b）时，求证：BE、MF、AB间的数量关系为　BE﹣2MFAB　． （3）在（2）的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE：AF＝2：3，EF，求DG的长． 【分析】（1）取AB的中点N，连接PN，PM，由∠PBA与∠PAB互余可以得出∠APB＝90°，由直角三角形的性质就可以得出PN＝BN＝ANAB，AM＝DM＝PMAD，就可以得出∠NPE＝∠MPF，∠NEP＝∠MFP，就有△PNE∽△PMF，得出NEMF，就可以得出结论； （2）取AB的中点N，连接PN，PM，由条件可以得出△PNE∽△PMF，得出NEMF，就可以得出结论BE﹣2MFAB； （3）延长CD交FG于点H，设BE＝2a，则AF＝3a．由BE﹣2MFAB就可以求出ABa，进而得出ADa，AEa，FDa，在Rt△AEF中，由勾股定理可以求出a的值，再由△AEF∽△DHF和△GDH∽△GBE由相似三角形的性质就可以求出结论． 【解析】（1）如图a，取AB的中点N，连接PN，PM． ∵∠PBA与∠PAB互余， ∴∠PBA+∠PAB＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APD＝90°． ∵N是AB的中点，M是AD的中点， ∴PN＝BN＝ANAB，AM＝DM＝PMAD． ∴∠NAP＝∠NPA，∠MAP＝∠MPA． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC． ∵BC＝2AB， ∴AD＝2AB， ∴， ∴∠NAP+∠MAP＝90°， ∴∠NPA+∠MPA＝90°， 即∠NPM＝90°． ∵∠EPF＝90°， ∴∠NPM＝∠EPF， ∴∠NPM﹣∠EPM＝∠EPF﹣∠EPM， ∴∠NPE＝∠MPF． ∵∠PBA+∠PAB＝90°，∠BAP+∠DAP＝90°， ∴∠ABP＝∠DAP． ∵PN＝BN，AM＝PM， ∴∠ABP＝∠PBA，∠DAP＝∠MPA， ∴∠NEP＝∠MFP． ∴△PNE∽△PMF， ∴． ∵， ∴NEMF． ∵BE﹣NE＝BN， ∴BEMF＝BN， ∵M是AD的中点， ∴AMAD， ∴AM＝AB． ∵N是AB的中点， ∴BNAB， ∴BEMFAB． （2）BE﹣2MFAB 理由：如图b，取AB的中点N，连接PN，PM， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD． ∵∠PBA＝∠PAB， ∴PA＝PB． ∵N是AB的中点， ∴PN⊥AB， ∴∠ANP＝90°． ∵∠PAB+∠