专题2半角模型-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题2半角模型 ( 经典例题 ) 【例1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N （1）求证：EF＝BE+DF 为了证明“EF＝BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程． （2）若BE＝2，DF＝3，请求出正方形ABCD的边长． （3）请直接写出线段BN、MN、DM三者之间的数量关系 【分析】（1）延长BC到G，使BG＝DF，连接AG，证得△ABG≌△ADF，△AEF≌△AEG，最后利用等量代换求得答案即可； （2）根据（1）中的结论，设正方形的边长为x，列方程可解答； （3）在AG截取AH＝AM，连接NH、BH，证得△ABH≌△ADM，△AMN≌△AHN，最后利用勾股定理求得答案即可． 【解析】（1）证明：如图1，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝∠ABE＝∠ABG＝90°， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG， ∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF， 在△AEF和△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）， ∴EF＝EG， ∵EG＝BE+BG， ∴EF＝BE+DF； （2）解：设正方形的边长为x， ∵BE＝2，DF＝3， ∴CE＝x﹣2，CF＝x﹣3， 由（1）得：EF＝BE+DF＝2+3＝5， Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2， 52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2， 解得：x＝6或﹣1（舍）， 答：正方形ABCD的边长为6． （3）解：BN2+DM2＝MN2； 理由是：如图2，在AG上截取AH＝AM，连接HN、BH， 在△AHB和△AMD中， ， ∴△AHB≌△AMD（SAS）， ∴BH＝DM，∠ABH＝∠ADB＝45°， 又∵∠ABD＝45°， ∴∠HBN＝90°． ∴BH2+BN2＝HN2． 在△AHN和△AMN中， ， ∴△AHN≌△AMN（SAS）， ∴MN＝HN． ∴BN2+DM2＝MN2． 【例2】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题． 已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且∠DAEα． （1）如图1，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连接DF， ①求∠DAF的度数； ②求证：△ADE≌△ADF； （2）如图2，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当α＝120°，BD＝4，CE＝5时，请直接写出DE的长为　　． 【分析】（1）①利用旋转的性质得出∠FAB＝∠CAE，再用角的和即可得出结论； ②利用SAS判断出△ADE≌△ADF，即可得出结论； （2）先判断出BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，再判断出∠DBF＝90°，即可得出结论； （3）同（2）的方法判断出∠DBF＝60°，再用含30度角的直角三角形求出BM，FM，最后用勾股定理即可得出结论． 【解析】（1）①由旋转得，∠FAB＝∠CAE， ∵∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°； ②由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE， ∴∠BAF+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝∠DAE， 在△ADE和△ADF中，， ∴△ADE≌△ADF（SAS）； （2）BD2+CE2＝DE2， 理由：如图2，将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连接DF， ∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB， 由（1）知，△ADE≌△ADF， ∴DE＝DF， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝90°， 根据勾股定理得，BD2+BF2＝DF2， 即：BD2+CE2＝DE2； （3）如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转120°到△AFB的位置，连接DF， ∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB， 由（1）知，△ADE≌△ADF， ∴DE＝DF，BF＝CE＝5， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝60°， 过点F作FM⊥BC于M， 在Rt△BMF中，∠BFM＝90°﹣∠DBF＝30°， BF＝5， ∴BM，FM， ∵BD＝4， ∴DM＝BD﹣BM， 根据勾股定理得，DF， ∴DE＝DF，