专题1共顶点模型-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题1共顶点模型 ( 经典例题 ) 【例1】如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，点M，F分别为边AB，AC的中点，点D在边AC上，且CD＝2AD，点N为CD的中点，过点D作DE∥AB交BC于点E，点G为DE的中点．将△DCE绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接MG，FN． （1）问题发现 当α＝0°时，　　；直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为　30°　． （2）类比探究 当0°＜α＜360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用 若AB＝4，直线MG和直线FN交于点O，在旋转的过程中，当点O与点N重合时，请直接写出线段FN的长． 【分析】（1）首先证明点C，点G，点M三点共线，由直角三角形的性质可求GM＝CM﹣CGABDE（AB﹣DE），直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为30°，由中点的定义可得FN＝FC﹣NC（AB﹣DE），即可求解； （2）通过证明△CDA∽△CGM，可得GMAD，由三角形中位线定理可得FNAD，可得结论，由相似三角形的性质可得∠ADC＝∠MGC，由三角形的内角和定理和外角的性质可得∠FHG＝30°； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可得NG⊥CD，∠CDG＝∠DCG＝30°，利用直角三角形的性质可求NG的长，由勾股定理可求MN的长，即可求解． 【解析】（1）∵∠ACB＝90°，AB＝2BC， ∴sin∠CAB， ∴∠CAB＝30°， ∴ACBC， ∵DE∥AB， ∴∠CDE＝∠CAB＝30°， ∴DE＝2CE，CDCE， 如图1，连接CG，CM， ∵Rt△DCE中，点G是DE中点， ∴CG＝DG＝GEDE， ∴∠CDE＝∠DCG＝30°， ∵Rt△ACB中，点M是AB中点， ∴AM＝BM＝CMAB， ∴∠CAB＝∠ACM＝30°， ∴∠ACM＝∠DCG， ∴点C，点G，点M三点共线， ∴GM＝CM﹣CGABDE（AB﹣DE），直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为30°， ∵点F是AC的中点，点N是CD的中点， ∴FCACBCAB，CNCDDE， ∴FN＝FC﹣NC（AB﹣DE）， ∴， 故答案为：，30°； （2）仍然成立， 理由如下：如图，连接AD，CM，CG，延长MG交NF于H，设GM与DE交于点I， 如图1，∵CD＝2AD， ∴CDAC， ∵DE∥AB， ∴， ∴DEAB， ∵CGDE，CMAB， ∴， ∴， 如图2，∵∠ACM＝∠DCG， ∴∠DCA＝∠DCM， ∴△CDA∽△CGM， ∴， ∴， ∴GMAD， ∵点N是CD的中点，点F是AC的中点， ∴FNAD， ∴， ∵△CDA∽△CGM， ∴∠ADC＝∠MGC， ∵∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，∠MGC+∠GCF+∠GIC＝180°， ∴∠GIC＝∠DAC+∠DCG＝∠DAC+30°， ∵NF∥AD， ∴∠DAC＝∠NFC， ∵∠GIC＝∠CFN+∠FHG， ∴∠DAC+30°＝∠CFN+∠FHG， ∴∠FHG＝30°； （3）如图3，当点G在线段MN上时，连接AD，CG，CM， ∵CG＝DG，DN＝CN， ∴NG⊥CD，∠CDG＝∠DCG＝30°， ∵AB＝4， ∴BC＝2，AC＝2，AM＝CM＝2， ∴CDAC， ∴CN， ∵∠DCG＝30°，NG⊥CD， ∴NCNG， ∴NG， ∵MN， ∴MG， ∵， ∴FNGM； 若点N在线段GM上时， 同理可求：MN，NG， ∴MG， ∵， ∴FNGM； 综上所述：线段FN的长为或． 【例2】（1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　1　； ②∠AMB的度数为　40°　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB，请直接写出当点A与点O、D在同一条直线上时AD的长． 【分析】（1）如图1中，设BD交AD于J．证明△OAC≌△OBD（SAS），推出AC＝BD，∠CAO＝∠DBO可得结论． （2）设AO交BM于J．证明△COA∽△DOB，推出，∠JAM＝∠JBO可得结论． （3）分两种情形：如图3﹣1中，当点D在线段OA上时，如图3﹣2中，当点D在AO的延长线上时，解直角三角形求出OA即可解决问题． 【解析】（1）如图1中，设BD交AD于J． ∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠CO