专题5：6.2.4向量的数量积-【上课小助手】2020-2021学年高一数学（人教A版必修第二册）之第六章平面向量

专题5：6.2.4向量的数量积（解析版） 一、单选题 1．已知平面向量 满足 ，则向量 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用 求出 ，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可. 【详解】 ，即 ， ． ． 故选：D． 2． ， ，向量 与 向量的夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影等于（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 根据题意直接计算即可. 【详解】 向量 在向量 方向上的投影为 . 故选：D. 3．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】 先计算 ，将 两边同时平方展开，将 、 的值代入即可求解. 【详解】 因为 ，所以 ， 将 两边同时平方可得： ， 即 ， 所以 ，解得 ， 故选：C 4．已知 ， ， ，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据数量积的定义计算． 【详解】 设向量 与 的夹角为 ，则 ，∵ ，∴ ， 故选：D. 5．已知向量 与 满足 ， ， 与 的夹角为 ，则 （ ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】 根据 ， ， 与 的夹角为 ，利用数量积运算求解. 【详解】 因为向量 与 满足 ， ， 与 的夹角为 ， 所以 ， 故选：C. 6．已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 （　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 由已知条件对 两边平方，进行数量积的运算即可得到 ，解该方程即可得出 ． 【详解】 解：根据条件， EMBED Equation.DSMT4 ； ∴解得 ，或 （舍去）． 故选C． 【点睛】 考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程和 ． 7．若 是互相垂直的单位向量且 ，则 （ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】 由 ，可得 EMBED Equation.DSMT4 ，再求解即可. 【详解】 解：由 是互相垂直的单位向量， 则 且 ， 又 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ， 故选：B. 【点睛】 本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属基础题. 8．若两个非零向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据向量加法和减法的几何意义可知，以 为邻边的平行四边形为矩形，且对角线是 的两倍，即对角线与矩形的边的较小的夹角为 .结合图形可知两个向量夹角为 ，余弦值为 . 【详解】 结合向量加减法的平行四边形法则三角形法则可知 ， 分别为以 ， 为邻边的平行四边形的对角线对应的向量， ∵ ，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的边的较小的夹角为 ，结合图形可知向量 与 的夹角为 ，余弦值为 ． 故应选B 【点睛】 本小题主要考查向量加法和减法的几何意义，考查两个向量夹角的概念及应用，属于基础题. 二、多选题 9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ） A． ， ,若 ,则 B．单位向量 ， ，则 C．若 且 ，则 D．若点 为 的重心，则 【答案】AC 【分析】 利用向量共线的坐标表示即可判断A，将 展开后结合 即可判断B，向量数量积不满足消去律，可判断选项C，根据向量的线性运算及三角形重心的性质可判断选项D. 【详解】 对于选项A：因为 ，则 ，解得： ，故选项A不正确； 对于选项B： ，所以 ，故选项B正确； 对于选项C：根据向量的几何意义可知若 且 ，则 不一定成立，故选项C不正确； 对于选项D：若点 为 的重心，取 的中点 ，则 ，故选项D正确， 故选：AC 10．下列说法中正确的是（ ） A． B．若 且 ，则 C．若 非零向量且 ，则 D．若 ，则有且只有一个实数 ，使得 【答案】AC 【分析】 根据相反向量的概念，可得A正确；根据向量共线可得B错；根据向量数量积运算，可得C错；根据向量共线基本定理，可得D错. 【详解】 由 ， 互为相反向量，则 ，故A正确； 由 且 ，可得 或 ，故B错； 由 ，则两边平方化简可得 ，所以 ，故C正确； 根据向量共线基本定理可知D错，因为要排除 为零向量. 故选：AC. 【点睛】 本题主要考查共线向量、相反向量，以及向量数量积的运算等知识，属于基础题型. 三、填空题 11．边长为 的等边 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 __________． 【答案】 【分析】 选 当作基底，表示出 ，利用数量积的运算律计算即可. 【详解】 由已知易得 故答案为： 12．若单位向量 ， 的夹角为120°，则 ______． 【答案】 【分析】 通过平方结合数量积公式即可求解. 【详解】 ，故 ．