广东省广州市（省实，执信，广雅，二中，六中五校）2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题(含答案)

1 2020-2021 学年度第一学期省实、执信、广雅、二中、六中五校联考 高二年级数学科期末考试答案 一、选择题（每题 5 分，共 60 分。其中 1--10 单选；11、12 多选：选对 5 分，漏选 3 分， 错选 0 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A D A C B B D C C ABC AD 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13. 31  aa 或 14. 0 或 6 15. 26 16. 2 三、解答题（共 70 分） 17. （本小题 12 分） 解：(1)由正弦定理，则 2c－a b ＝ 2sin C－sin A sin B ，······1 分 所以 cos A－2cos C cos B ＝ 2sin C－sin A sin B ， 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．······2 分 因为 A＋B＋C＝π，所以 sin C＝2sin A. ······3 分 因此sin C sin A ＝2.······4 分 (2)由sin C sin A ＝2，得 c＝2a.······5 分由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B 及 cos B＝1 4 ，b＝2， 得 4＝a2＋4a2－4a2×1 4 .······7 分解得 a＝1，从而 c＝2.······8 分 因为 cos B＝1 4 ，且 0<B<π，······9 分 所以 sin B＝ 15 4 ，······10 分 因此 S＝1 2 acsin B＝1 2 ×1×2× 15 4 ＝ 15 4 ······12 分 18. （本小题 12 分） （1）由频率分布表可得 2 0.04 50 b   ······1 分 [80,90)内的频数为50 0.08 4  , ∴ 50 8 20 4 2 16a       ······2 分 ∴[60,70) 内的频率为 16 0.32 50  ∴ 0.32 0.032 10 x   ······3 分 ∵[90,100]内的频率为 0.04 ∴ 0.04 0.004 10 y   ······4 分 2 由题意，80%分位数在[70,80]组内，······5 分 则（0.016+0.032）×10+（t-70）×0.04=0.80······6 分 解得 t=78 ∴估计 t 的最小值为 78 分······7 分 （3）由题意可知,第 4 组共有 4 人,第 5 组共有 2 人, 设第 4 组的 4 人分别为 1a 、 2a 、 3a 、 4a ；第 5 组的 2 人分别为 1b 、 2b ······8 分 从中任取 2 人的所有基本事件为：  1 2,a a , 1 3,a a , 1 4,a a , 1 1,a b , 1 2,a b , 2 3,a a , 2 4,a a , 2 1,a b , 2 2,a b , 3 4,a a ,  3 1,a b , 3 2,a b , 4 1,a b , 4 2,a b , 1 2,b b 共 15 个.······9 分 至少一人来自第 5 组的基本事件有：  1 1,a b , 1 2,a b , 2 1,a b , 2 2,a b , 3 1,a b , 3 2,a b , 4 1,a b , 4 2,a b  1 2,b b 共 9 个.·10 分 所以 9 3 15 5 P   .······11 分 ∴所抽取 2 人中至少一人来自第 5 组的概率为 3 5 .······12 分 19. （本小题 10 分） （1） na 是等差数列，设其公差为 d ，因为 2 21 8n na a n   ，所以 2 2 2 1 2 2 3 2 8 16 a a a a       ，··2 分 所以 2 1 2 1 2 8 2 3 16 a d d a d d       ， 解得 1 1 2 a d    或 1 1 2 a d      (舍). ······4 分 所以  1 1 2 2 1na n n      . 即 na 的通项公式为 2 1na n  . ······5 分 （2）由（1）知 2 12 2na n ，即 1 2 4 2 na n  ，······6 分 所以  1 2 212 2 2 4 4 4 2 naa a n nS      