安徽省皖江名校联盟2021届高三下学期2月开年考理科数学试题

数学(理科) 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 2. 若复数 满足 ( ， 是虚数单位)，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 3. 函数 ( ， 是自然对数的底数)且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 4. 若数列 各项均为正数，满足 ，且 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 5. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照 ， ，…， 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.则估计全市居民月均用水量的中位数是（ ） A. 2.25吨 B. 2.24吨 C. 2.06吨 D. 2.04吨 【答案】D 6. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7. 已知圆锥的顶点为 ，过母线 ､ 的截面面积是 .若 ､ 的夹角是 ，且 与圆锥底面所成的角是 ，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 8. 设 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数 的图象.若 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 （ ） A. ， B. ， C. D. 3 【答案】C 9. 有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ） A. 288种 B. 144种 C. 72种 D. 36种 【答案】B 10. 若关于x的不等式 对任意 恒成立，则正实数a的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 11. 设 ， 为自然对数的底数，函数 在 内有且仅有一个零点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 12. 已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，斜率为 的直线 与 的两个交点为 ， .若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 命题“ ， ”的否定是___________. 【答案】 ， 14. 设点 是 外接圆的圆心， ，且 .则 的值是___________. 【答案】 15. 如图1，在一个正方形 内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使 ， ， ， 重合于点 ，且折叠后的四棱锥 的外接球的表面积是 (如图2)，则四棱锥 的体积是___________. 【答案】 16. 已知 是各项均不为零的等差数列 的前 项和，且 ，使不等式 EMBED Equation.DSMT4 成立，则实数 的最大值是___________. 【答案】 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17. 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，向量 ，向量 ，且满足 . （1）求角 的大小； （2）若 外接圆半径是1，求当函数 取最大值时 的周长. 【答案】（1） ；（2） . 18. 如图1，在 中， ， 于 .现将 沿 折叠，使 为直二面角(如图2)， 是棱 的中点，连接 、 、 . （1）证明：平面 平面 ； （2）若棱 上有一点 满足 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 19. 已知椭圆 中，以 为中点的弦 所在直线的方程是 . （1）求椭圆 方程； （2）设点 为椭圆 长轴上的一个动点，过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，证明： 为定值. 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 20. 已知函数 ，其中 （1）讨论 的单调性； （2）若函数 ，证明：当 时， . 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 21. 新冠肺炎，全民防控.冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播，可以通过飞沫､粪便､接触等进行传染.冠状肺炎感染人群年龄大多是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期(潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时期)，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对200个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期的中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06，一般认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄