专题04（大题专练）：函数与导数综合问题-2021年新高考数学二轮复习常规题型专练

专题04（大题专练）：函数与导数综合问题 1.设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex. (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 解：(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex, 所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]·ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex(x∈R). f'(1)=(1-a)e. 由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1. 此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1. (2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex. 若a>,则当x时,f'(x)<0; 当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在x=2处取得极小值. 若a,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1x-1<0, 所以f'(x)>0. 所以2不是f(x)的极小值点. 综上可知,a的取值范围是 2.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}= (1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围. (2)①求F(x)的最小值m(a); ②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a). 解：(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a]. (2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2, 则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)}, 即m(a)= ②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2), 当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}. 所以,M(a)= 3.(2020全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)x3+1,求a的取值范围. 解：(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1. 故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)f(x)x3+1等价于e-x≤1. 设函数g(x)=e-x(x≥0), 则g'(x)=-x3-ax2+x+1-x2+2ax-1e-x =-x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x =-x(x-2a-1)(x-2)e-x. ①若2a+1≤0,即a≤-,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1, 故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意. ②若0<2a+1<2,即-<a<,则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.因为g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a 所以当a<时,g(x)≤1. ③若2a+1≥2,即a,则g(x)≤x3+x+1e-x. 由于0∈,故由②可得e-x≤1. 故当a时,g(x)≤1. 综上,a的取值范围是 4.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围. 解：（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 5.已知函数f(x)=ax-a+1- (1)若函数f(x)为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解：(1)∵f(x)=ax-a+1-, ∴f'(x)=a- ∵函数f(x)为减函数,∴f'(x)≤0, 即a对x∈(0,+∞)恒成立. 设m(x)=,则m'(x)= ∴m(x)在区间内单调递减,在区间(,+∞)内单调递增