专题03（大题专练）：三角函数、解三角形综合问题-2021年新高考数学二轮复习常规题型专练

专题03 三角函数、解三角形综合问题 1.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 解:(1)由角α的终边过点P, 得sinα=-,所以sin(α+π)=-sinα= (2)由角α的终边过点P,得cosα=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα, 所以cosβ=-或cosβ= 2.在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 解：（1）在中，由正弦定理得. 由题设知，，所以. 由题设知，，所以. （2）由题设及（1）知，. 在中，由余弦定理得 . 所以. 3.(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值. 解:(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.① 由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA.② 由①②得cosA=-因为0<A<π,所以A= (2)由正弦定理及(1),得=2,从而AC=2sinB,AB=2sin(π-A-B)=3cosB-sinB. 故BC+AC+AB=3+sinB+3cosB=3+2sin 又0<B<,所以当B=时,△ABC周长取得最大值3+2 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为 (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长. 解:(1)由题设得acsinB=,即csinB= 由正弦定理得sinCsinB=故sinBsinC= (2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-, 即cos(B+C)=-所以B+C=,故A= 由题设得bcsinA=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9, 即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+ 5.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 解：（Ⅰ）由角的终边过点得， 所以. （Ⅱ）由角的终边过点得， 由得. 由得， 所以或. 6.已知函数f(x)=4tan xsincos (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 解:(1)f(x)的定义域为 f(x)=4tanxcosxcos =4sinxcos =4sinx =2sinxcosx+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin, 所以,f(x)的最小正周期T==π. (2)令z=2x-,函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. 7.已知函数f(x)=acos2asin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0,求f(x0+1)的值. 解:(1)由已知可得f(x)=a=asin ∵BC==4,∴T=8,∴ω= 由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2 (2)由(1)知f(x0)=2sin, 即sin ∵x0,x0+, ∴cos, ∴f(x0+1)=2sin =2sin =2 =2 8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+b=5,(2a+b)·cos C+c·cos B=0. (1)若△ABC的面积为,求c; (2)若点D为线段AB的中点,∠ACD=30°,求a,b. 解:(1)∵(2a+b)cosC+ccosB=0, ∴(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0, 即2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0. ∴2sinAcosC+sin(B+C)=0,即2sinAcosC+sinA=0. ∵A∈(0,π),∴sinA≠0. ∴cosC=- ∵C∈(0,π),∴sinC= ∴S△ABC=a·bsinC=ab=2. 在△ABC中,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-ab=25-2=23,∴c= (2)∵cosC=-,∴C=120°. 又∠ACD=30°,∴∠BCD=90°. 记∠ADC=θ,AD=BD=m,在直角三角形BCD中,a