专题10 新定义问题（3）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题10 新定义问题（3） 【规律总结】 ※知识精要 新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题 目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义 的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。 ※要点突破 解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。 【典例分析】 例1．（2020·杭州市公益中学七年级月考）已知正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有（ ） A．6个 B．10个 C．16个 D．20个 【答案】C 【分析】 由，以及若x不是整数，则<x知，即n是6的倍数，得到n的值. 【详解】 ∵，若x不是整数，则<x， ∴，即n是6的倍数， ∴n的值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个， 故选：C. 【点睛】 此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解表示不超过x的最大整数，得到，即n是6的倍数，由此解决问题. 例2．（2021·全国八年级）若一个自然数t能写成t＝x2﹣y2（x，y均为正整数，且x≠y），则称t为“万象数”，x，y为t的一个万象分解，在t的所有万象分解中，若最小，则称x，y为t的绝对万象分解，此时F（t）＝．例如：32＝92﹣72＝62﹣22，因为＝，＝，．所以9和7为32的绝对万象分解，则F（32）＝．若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“博雅数”．例如2112，4554均为“博雅数”．若一个四位正整数m是“万象数”且能被13整除，“博雅数”n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，则所有满足条件的数m中F（m）的最大值为______． 【答案】 【分析】 设n的个位数字是a，十位数字是b，由“博雅数”和万象分解的定义，可以得到m=99(a+b)(a-b)，再由a与b的取值范围，m同时能被13整除，可以确定m的所有取值可能为1287，3861，6435；再将这三个数进行万象分解，确定F(m)． 【详解】 设n的个位数字是a，十位数字是b， ∵n是“博雅数”， ∵n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解， ∴m＝（10a+b）2﹣（10b﹣a）2＝99（a+b）（a﹣b）， ∵m能被13整除， ∴（a+b）（a﹣b）是13的倍数， ∵1≤a≤9，0≤b≤9， ∴a+b＝13， ∴a＝6，b＝7；a＝7，b＝6；a＝5，b＝8；a＝8，b＝5；a＝9，b＝4；a＝4，b＝9； ∴m的值所有情况为： 1287＝99×13×1＝762﹣672＝362﹣32； 3861＝99×13×3＝852﹣582＝752﹣422＝692﹣482； 6435＝99×13×5＝942﹣492＝1022﹣632＝1142﹣332＝3622﹣3532； ∵F（1287）＝；F（3861）＝；F（6435）＝； ∴F（m）的最大值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考査因式分解的应用；能够通过定义，结合数整除的性质，借助因式分解准确找到符合条件的三个数的所有万象分解是解题的关键． 例3．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”． 根据题中所给材料，解答以下问题： （1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______； （2）对一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，设，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，定义：，求的最大值． 【答案】（1）1020，9990；（2）7． 【分析】 （1）根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要使千位和百位最大，据此写出答案； （2）根据题意直接列出满足条件的“希望数m，再根据定义求出即可得出最大值． 【详解】 解：（1）千位数最小为1，最大为9，百位数最小为0，最大为9；根据对于一个四位正整数，