专题08 新定义问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题08 新定义问题（1） 【规律总结】 ※知识精要 新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题 目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义 的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。 ※要点突破 解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。 【典例分析】 例1．（2020·湖南广益实验中学七年级月考）规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示不大于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，可将2x＋3[x]＝32变形为2x＋2＋3x＝32，解方程后即可得出结论． 【详解】 解：∵x为整数， ∴{x}＝x＋1， [x]＝x， ∴2{x}＋3[x]＝32可化为：2（x＋1）＋3x＝32 去括号，得 2x＋2＋3x＝32， 移项合并，得5x＝30， 系数化为1，得x＝6． 故选：C． 【点睛】 本题结合新定义主要考查解一元一次方程，比较新颖，注意仔细审题，理解新定义运算的规则是解题的关键． 例2．（2021·河南安阳市·八年级期末）对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______． 【答案】36 【分析】 根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值． 【详解】 解：∵， ∴40≤； ∴ ∴（m+6）2+（n-2）2≤0， ∵（m+6）2+（n-2）20， ∴m+6=0，n-2=0， ∴m=-6，n=2， ∴ 故答案为：36． 【点睛】 本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 例3．（2021·北京西城区·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如图，点的“最佳间距”是1． （1）点，，的“最佳间距”是__________； （2）已知点，，． ①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为__________； ②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________； （3）已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点．当点，，的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标． 【答案】（1）2；（2）①±1；②3；（3）P（，）． 【分析】 （1）根据题意，分别求出点，，任意两点间的距离，比较后即可得出结论； （2）①根据三个点的坐标特点可得AB∥y轴，由此可求出OA、OB均不满足点O，A，B的“最佳间距”是1，则可得AB＝1，从而求出y值的两种情况； ② 根据OA＝3，且OA为定值，可得无论y取何值，点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3； （3）根据题目中的已知条件，可利用待定系数法求出直线CD的解析式，由，可判断PE⊥x轴，同（2）②则可得出点，，的“最佳间距”取到最大值时的条件为OE＝PE，从而可列出关于m的方程，求解后即可求出点P的坐标． 【详解】 解：（1）∵点，，， ∴，，， ∵2＜3＜， ∴点，，的“最佳间距”是2． 故答案为：2． （2）①∵点，，， ∴AB∥y轴， ∴OA＝3，OB＞OA， ∵点O，A，B的“最佳间距”是1， ∴AB＝1， ∴y＝±1． 故答案为：±1． ②当－3≤y≤3时，点O，A，B的“最佳间距”是＝AB≤3， 当y＞3或y＜－3时，AB＞3，点O，A，B的“最佳间距”是OA＝3， ∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3． 故答案为：3． （3）如图， 设直线CD的解析式为y＝k1x＋b1，将，代入得： 解得 ∴， ∵，， ∴PE⊥x轴， 当且仅当OE＝PE时，点，，的“最佳间距”取到最大值， ∵OE＝m，PE＝n＝， ∴， 解得， ∴P（，）， 当点O，E，P的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标为（，）． 【点睛】 本题考查了新定义运算的综合应用，弄清新定义的规则，并灵活应用所学知识求解是解题的关键． 【真题演练】 一、单选题 1．（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若是“匀称三角形”，且，，则为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】 作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE，它是AC边上的中线，设A