专题03 和角平分线有关的图形-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题03 和角平分线有关的图形 【规律总结】 模型三“臭脚”模型 点P在EF右侧，在AB、 CD外部 “臭脚”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型 点P在EF左侧，在AB、 CD外部 · “骨折”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【典例分析】 例1．（2019·石家庄润德学校八年级期中）如图，O是的，的平分线的交点，交BC于点D，交BC于点E．若，则的周长是（ ） A．16 B．10 C．8 D．以上都不对 【答案】A 【分析】 根据题意判断出和是等腰三角形，再转化的边长即可． 【详解】 平分， ，是等腰三角形，， 同理可得：是等腰三角形，， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，能够从平行线与角平分线中辨别出等腰三角形是解题的关键． 例2．（2020·余干县第六中学八年级月考）如图，中，，与分别是与的平分线，，．则的周长是__________． 【答案】6 【分析】 由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，显然△ODE的周长即为BC的长度． 【详解】 ∵OD∥AB， ∴∠ABO＝∠BOD， ∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBD， ∴∠ABO＝∠BOD， ∴BD＝OD， 则同理可得CE＝OE， ∴△ODE的周长＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 例3．（2019·河南商丘市·八年级期中）（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F．图中有________个等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由． （2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有_____个等腰三角形．它们是_____________．EF与BE、CF间的关系是___________________． （3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F．这时图中有_______个等腰三角形．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由． 【答案】（1）5，，理由见解析；（2）2，，；（3）2，，理由见解析 【分析】 （1）根据题意易得∠ABC=∠ACB，由EF∥BC可得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分线可得∠ABO=∠OBC，∠OCB=∠ACO，进而可根据等腰三角形的判定可进行求解； （2）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解； （3）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解． 【详解】 解：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO， ∴OB=OC， ∴△OBC是等腰三角形， ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， ∴∠AEF=∠AFE，∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO， ∴AE=AF，EB=EO，FO=FC， ∴△AEF、△EBO、△FOC都是等腰三角形， ∴， 故答案为5； （2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， ∴∠EOB=∠EBO， ∴EO=EB， 同理可得FO=FC， ∴△EBO、△FOC都是等腰三角形， ∴， 故答案为2，，； （3），理由如下： 如图， ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC，∠1=∠2， ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2， ∴∠EOB=∠EBO， ∴EO=EB， 同理可得FO=FC， ∴△EBO、△FOC都是等腰三角形， ∴， 故答案为2． 【点睛】 本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定是解题的关键，