河南省信阳高级中学2020-2021学年高一下学期开学考试数学（理）试题

答案第 1 页，总 4 页 2023 届高一下期开学考试理数参考答案 1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．B 7．B 8．C 9．A 10．D 11．D 12．A 13． 2 6 . 14． 2 3 ( , ) ( , 1) 3 2   15．①① 16． 2021 6 a  17． 解：（1）因为点  1, 5P 到直线 l 的距离为 d ， 于是有 2 2 5 1 2 3 4 1 1 k k k d k k         ， 由直线 l ： 1 2 0kx y k    的表达式变形得：  1 2y k x   ， 所以直线 l 必过点  2,1M  ， 根据点与直线间的关系可知     2 2 1 2 5 1 5d PM      ， 于是当且仅当 PM 垂直于直线 l ，垂足为 M 时， 点 P 到直线 l 的距离 d 取最大值 5 ，此时有 2 3 4 5 1 k k    ， 解得 3 4 k   ，代入直线 l 方程，得到 l ： 3 4 2 0x y   ． （2）依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为 1 2k k   ， 在 y 轴上的截距为1 2k ，且 0k  ， 所以 1 2 , 0 k A k       ，  0,1 2B k ， 故   1 1 1 2 1 1 1 2 4 4 2 2 2 k S OA OB k k k k                  1 4 4 4 2     ， 当且仅当 1 4k k  ，即 1 2 k  时取等号，故 S 的最小值为 4， 此时直线 l 的方程为 2 4 0x y   ． 18． （1）因为集合  1 3A x x   ，  2 ,xB y y x A   ， 所以集合 [ )2,8B = ， [ )1,8A B? . （2）因为  6C x a x a    ，  C A B  ， 所以若 C ，则 6a a? ，解得 3a  ； 若 C ，则 6 1 8 6 a a a a        ，解得 3 5a  ， 综上所述， 5a  ，实数 a 的取值范围是 , 5 . 19． （1）因为侧面 1 1BB C C 是矩形， ,M N 分别为 1 1,BC B C 的中点，所以 1BB BC ， 1//MN BB ，从而 答案第 2 页，总 4 页 BC MN ， 又 ABC 是正三角形， M 是 BC 中点，所以 AM BC ， 因为 AM MN M  ， ,AM MN  平面 1A AMN ，所以 BC ⊥平面 1A AMN ， 1 1 / /B C 平面 ABC ， 1 1B C  平面 1 1B C FE ，平面 ABC 平面 1 1B C FE EF ，所以 1 1 //B C EF ，而 1 1 //BC B C ，所以 / /EF BC ，所以 EF  平面 1A AMN ， EF  平面 1 1B C FE ， 所以平面 1 1 1A AMN EB C F ； （2） EF AM P ，连接 PN ， //AO 平面 1 1EB C F ，平面 1 1EB C F 平面 1A AMN PN ， AO 平面 1A AMN ，所以 //AO PN ，又由 三棱柱的性质得 //ON AP ，所以 APNO是平行四边形，所以 AP NO ， O 是 1 1 1A B C△ 的中心，则 1 1 3 ON A N ，所以 1 1 1 3 3 AP A N AM  ， 所以 1 3 EF AP BC AM   ， 设 3BC a ，则 EF a ， 3PN AO BC a   ， 由三棱柱性质知四边形 1 1B C FE 是等腰梯形，如图， 1 1PN B C ，作 1 1EH B C 于 H ，则 3EH PN a  ， 又 1 1 (3 ) 2 B H a a a   ， 所以 1 10B E a ， 1 1 1 1 10 cos 1010 B H a EB C B E a     ． 所以直线 1B E 与平面 1A AMN 所成角的正弦值等于 1 1 10 cos 10 EB C  ． 20． （1）由已知可得直线 : ( 1) 1 0l x m y    ，所以直线 l 恒过定点 (