专题10 ：第四章数列知识点与典型例题-【上课小助手】2020-2021学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

第四章数列知识点与典型例题 数列 一、基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列． 无穷数列：项数无限的数列． 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 常数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4、数列的通项公式：表示数列 的第 项与序号 之间的关系的公式． 5、数列的递推公式：表示任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系的公式． 等差数列与等比数列性质的比较 等差数列性质 等比数列性质 1、定义 ； , 2、通项 公式 3、前n项和 4、中项 a、A、b成等差数列 A= ； 是其前k项 与后k项 的等差中项，即： = a、A、b成等比数列 EMBED Equation.DSMT4 （不等价于 ，只能 ）; 是其前k项 与后k项 的 等比中项，即： 5、下标和公式 若m+n=p+q,则 特别地,若m+n=2p,则 若m+n=p+q,则 特别地,若m+n=2p,则 6、首尾项性质 等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即： 等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即： 7、结论 { }为等差数列,若m,n,p成等差数列,则 成等差数列 { }为等比数列,若m,n,p成等差数列,则 成等比数列 （两个等差数列的和仍是等差数列） 等差数列{ },{ }的公差分别为 ,则数列{ }仍为等差数列，公差为 （两个等比数列的积仍是等比数列） 等比数列{ },{ }的公比分别为 ,则数列{ }仍为等比数列，公差为 取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为 取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为 若 则 无此性质； 若 则 无此性质； 若 无此性质； 成等差数列， 公差为 成等差数列，公比为 当项数为偶数 时， 当项数为奇数 时， ， 当项数为偶数 时， 当项数为奇数 时， 8、等差(等比)数列的判断方法 ①定义法： ②等差中项概念； ③函数法： 关于n的一次函数 数列 是首项为p+q，公差为p 的等差数列； ④数列 的前n项和形如 (a，b为常数)，那么数列 是等差数列， ①定义法： ②等差中项概念； ③函数法： ( 均为不为0的常数， )，则数列 是等比数列． ④数列 的前n项和形如 ( 均为不等于0的常数且q≠1)，则数列 是公比不为1的等比数列． 9、共性 非零常数列既是等差数列又是等比数列 知能要点 1、求通项公式的方法： (1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an； (2)利用前n项和与通项的关系an＝ (3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式； (4)累加法：如an＋1－an＝f(n)， 累积法，如＝f(n)； (5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)． 一，观察法 1．数列 的第10项是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 观察分子分母的通项，即可归纳出该数列的通项公式，即可得结论． 【详解】 从分子上看，2，4，6，8，对应的通项为 ， 从分母上看，3，5，7，9，对应的通项为 ， 所以该数列的通项公式 ， 所以 ． 故选： ． 【点睛】 本题主要考查归纳推理，考查数列的概念及简单表示，解题的关键是看出项与项数之间的关系，属于基础题． 2．数列-1，3，-5，7， -9， 11，x，15， -17…中的x等于（ ） A．12 B．-13 C．14 D．-15 【答案】B 【分析】 记该数列为 .观察数列，得出规律： ，即求 . 【详解】 记该数列为 .观察数列，可得 ， . 故选： . 【点睛】 本题考查数列的项，属于基础题. 3．写出下面各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…； (2) ， ， ， ， ，…； (3)－1， ，－ ， ，－ ， ，…； (4)3,33,333,3 333，…. 【答案】(1) . (2) . (3) (4) ． 【解析】 【分析】 依次计算每一项的通项公式. 【详解】 (1)各项式减去1后为正偶数，所以 . (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以 . (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子 ； 各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,5，…；