第一章 集合与函数概念-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修1）

高中数学 (人教 Ａ 版) 学案部分　 详解答案 [学案部分] 第一章　 集合与函数概念 １􀆰 １　 集合 １. １. １　 集合的含义与表示 新知导学 　 　 １. 总体　 元素 ２. ∈　 不属于 ３. Ｎ　 Ｎ∗ 或 Ｎ ＋ 　 Ｚ　 Ｑ　 Ｒ　 一般符号　 取值( 或变化) 范围　 共 同特征 预习自测 １. Ｃ　 “著名的数学家”无明确的标准ꎬ对于某人是否“著名” 无法客观地 判断ꎬ因此“中国著名的数学家”不能组成集合ꎬ故选 Ｃ. ２. Ａ　 ２∈Ｒꎬ且 ２∉Ｑꎬ故选 Ａ. ３. Ｂ　 ∵ ｘ∈Ｎꎬ∴ ｘ≠ － １ꎬ 排除 Ｃꎬ又∵ １ ｘ ∈Ｎꎬ∴ ｘ≠０ꎬ排除 Ａ、Ｄꎬ故选 Ｂ. ４. ２　 由数集的性质可知①③错误ꎬ②④正确. ５. 当 ｘ２ ＝ ０ 时ꎬ得 ｘ ＝ ０ꎬ此时集合 Ａ 中有两个相同的元素ꎬ舍去. 当 ｘ２ ＝ １ 时ꎬ得 ｘ ＝ ± １. 若 ｘ ＝ １ꎬ此时集合 Ａ 中有两个相同的元素ꎬ舍去. 若 ｘ ＝ － １ꎬ此时集合 Ａ 中有三个元素 ０ꎬ１ꎬ － １ꎬ符合题意. 当 ｘ２ ＝ ｘ 时ꎬ得 ｘ ＝ ０ 或 ｘ ＝ １ꎬ易知都不符合题意. 综上可知ꎬ符合题意的 ｘ 的值为 － １. 互动探究解疑 　 　 典例试做 １:②③　 ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”ꎬ这些标准 均不明确ꎬ即元素不确定ꎬ所以①④不能组成集合. ②③中的对象都是确定的、互异的ꎬ所以 ② ③ 可以组成集合. 填 ②③. 　 　 跟踪练习 １:(１)“我国的小城市”无明确的标准ꎬ对于某个城市是否 “小”无法客观地判断ꎬ因此ꎬ“ 我国的小城市” 不能构成一个集合. (２) “高个子”无明确的标准ꎬ对于某个同学是否是“ 高个子” 无法客观地判 断ꎬ不能构成集合. (３)任给一个实数 ｘꎬ可以明确地判断是不是“ 不超过 ２０ 的非负数”ꎬ即“０≤ｘ≤２０”与“ｘ > ２０ 或 ｘ < ０” 两者必居其一ꎬ且仅居 其一ꎬ故“不超过 ２０ 的非负数”能构成集合. (４) 由 ｘ２ － ９ ＝ ０ꎬ得 ｘ１ ＝ － ３ꎬｘ２ ＝ ３. ∴ 方程 ｘ ２ － ９ ＝ ０ 在实数范围内的解为 － ３ꎬ３ꎬ能构成集合. 　 　 典例试做 ２:由题意可知ꎬｘ － ２ ＝ － ３ 或 ２ｘ２ ＋ ５ｘ ＝ － ３. 当 ｘ － ２ ＝ － ３ 时ꎬｘ ＝ － １ꎬ 把 ｘ ＝ － １ 代入 ２ｘ２ ＋ ５ｘꎬ得集合的三个元素分别为 － ３ꎬ － ３ꎬ１２ꎬ不 满足集合中元素的互异性ꎻ 当 ２ｘ２ ＋ ５ｘ ＝ － ３ 时ꎬｘ ＝ － ３ ２ 或 ｘ ＝ － １(舍去)ꎬ 当 ｘ ＝ － ３ ２ 时ꎬ集合的三个元素分别为 － ７ ２ ꎬ － ３ꎬ１２ꎬ满足集合中 元素的互异性ꎬ故 ｘ ＝ － ３ ２ . 　 　 跟踪练习 ２:０ 或 － １　 ∵ － ３∈Ａꎬ∴ － ３ ＝ ａ － ３ 或 － ３ ＝ ２ａ － １. 若 － ３ ＝ ａ － ３ꎬ则 ａ ＝ ０ꎬ此时集合 Ａ 中含有两个元素 － ３ꎬ － １ꎬ符合题 意. 若 － ３ ＝ ２ａ － １ꎬ则 ａ ＝ － １ꎬ此时集合 Ａ 中含有两个元素 － ４ꎬ － ３ꎬ符 合题意. 综上所述ꎬ实数 ａ 的值为 ０ 或 － １. 　 　 典例试做 ３:(１)３６ 与 ６０ 的公约数有 １ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ６ꎬ１２ꎬ所求集合为{１ꎬ ２ꎬ３ꎬ４ꎬ６ꎬ１２}. (２)方程(ｘ － ４)２ (ｘ － ２) ＝ ０ 的根是 ４ꎬ２ꎬ所求集合为{２ꎬ４}. (３)方程组 ｘ － ｙ ＝ １２ｘ ＋ ３ｙ ＝ ４{ 的解是 ｘ ＝ ７ ５ ｙ ＝ ２ ５ { . 所求集合为{( ７５ ꎬ ２５ )}. 　 　 跟踪练习 ３:(１)因为不大于 １０ 是指小于或等于 １０ꎬ非负是大于或 等于 ０ 的意思. 所以不大于 １０ 的非负偶数集是{０ꎬ２ꎬ４ꎬ６ꎬ８ꎬ１０}. (２)方程 ｘ２ ＝ ｘ 的解是 ｘ ＝ ０ 或 ｘ ＝ １ꎬ所以方程的解组成的集合为 {０ꎬ１}. (３)将 ｘ ＝ ０ 代入 ｙ ＝ ２ｘ ＋ １ꎬ得 ｙ ＝ １ꎬ即交点是(０ꎬ１)ꎬ故两直线的交 点组成的集合是{(０ꎬ１)}. 　 　 典例试做 ４:(１)集合可表示为{ｘ∈Ｒ ｜２≤ｘ≤２０}. (２)第二象限内的点(ｘꎬｙ)满足 ｘ < ０ꎬ且 ｙ > ０ꎬ故集合可表示为{(ｘꎬ ｙ) ｜ ｘ < ０ꎬｙ > ０}. (３)要使该式有意义ꎬ需有 ２ － ｘ≥０ｘ≠０{ ꎬ 解得 ｘ≤２ꎬ且 ｘ≠０. 故此集合可表示为{ｘ ｜ ｘ≤２ꎬ且 ｘ≠０}. (４){ｘ ｜ ｘ ＝ ２ｋ ＋ １ꎬｘ < ２００ꎬｋ∈Ｎ}. (５){ｘ ｜ ｘ２ － ５ｘ － ６ ＝ ０. } 　 　 跟踪练习 ４:(１)奇数可表示为２ｋ ＋ １ꎬｋ∈Ｚꎬ又因为大