2020-2021学年沪教版（上海）七年级第二学期第十二讲等边三角形学案

第十二讲 等边三角形 “等边三角形”也被称为“正三角形” 等边三角形的性质：（具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊） 1）等边三角形的内角都相等，且为60度 2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） 3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线 等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形） （1）三边相等的三角形是等边三角形（定义） （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 理解等边三角形的性质与判定。 首先明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。 其次明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形重心、内心 、外心、垂心重合，称为等边三角形的中心。 等边三角形的中心、内心和垂心重合于一点。（三心合一） 等边三角形的每条边上的中线、高或对角平分线重合。（三线合一） 【例题1】 【基础题】在等边 中，点 分别在边 上，且 ， 与 交于点 ． （1）求证： ； （2）求 的度数． 解：（1）证明： 是等边三角形， ， 又 ， ． （2）解由（1） ， 得 . . . 【延伸题】如图，已知C为线段AB上的一点，(ACM和(CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：(CEF是等边三角形。 分析 由(ACM=(BCN=60(，知(ECF=60(，欲证(CEF是等边三角形，只要证明(CEF是等腰三角形。先证(CAN≌(MCB，得(1=(2.再证(CFN≌(CEB，即可推得(CEF是等边三角形的结论。 证明：在(CAN和(MCB， ∵AC=MC，CN=CB， (ACN=(MCB=120(， ∴(ACN≌(MCB， (1=(2， (CFN和(CEB中， ∵(FCN=(ECB=60(，CN=CB，(1=(2， ∴(CFN≌(CEB，∴CF=CE， 又∵(ECF=60(， ∴(CEF是等边三角形. 【例题2】 【基础题】如图，已知△ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD， 连接CE、DE. 求证：EC=ED 分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。 证明：过D点作DF∥AC交BE于F点 ∵ △ ABC为等边三角形 ∴ △BFD为等边三角形 ∴ BF=BD=FD ∵ AE=BD ∴ AE=BF=FD ∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB ∴ EF=AC 在△ ACE和△DFE中， ∴ △AEC≌△FED（SAS） ∴ EC=ED（全等三角形对应边相等） 【延伸题】 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ ∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝ ∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 所以∠1＝ ∠ABC 又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E 所以∠ACB＝2∠E 即∠1＝∠E 所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M 所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理） 【例题3】 【基础题】△是等边三角形，点、、分别是线段、、上的点. 　（1）若，求证：△是等边三角形； 　（2）若△是等边三角形，求证：． （1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC ∵AD=BE=CF ∴BD=CE=AF ∴△ADF≌△BED≌△CFE ∴DF=DE=EF ∴△DEF是等边三角形 （2）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60° ∵△DEF是等边三角形 ∴DF=DE=EF ∠DEF=60° ∵∠DEF=∠B+∠BDE ∴60°