1.4 生活中的优化问题举例-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A版选修2-2）

课时同步练 1.4 生活中的优化问题举例 一、单选题 1．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为（ ） A．32米，16米 B．30米，15米 C．40米，20米 D．36米，18米 【答案】A 【解析】设需建的矩形堆料场与原墙平行的一边边长为x米，其他两边边长均为y米，则xy=512， 所砌新墙的长l=x+2y=+2y(y>0)，令l′=-+2=0，解得y=16(另一负根舍去)， 当0<y<16时， l′<0；当y>16时， l′>0，所以当y=16时，函数取得极小值，也就是最小值， 此时x==32. 故选A. 2．用边长为的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设水箱底长为xcm，则高为cm．由 ，得0＜x＜120． 设容器的容积为ycm3，则有， 求导数，有 ． 令y＝0，解得x＝80（x＝0舍去）．当x∈（0，80）时，y＞0；当x∈（80，120）时，y＜0， 因此，x＝80是函数的极大值点，也是最大值点，此时y＝128000cm3． 故选B． 3．现有一段长为的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是米， 则该长方体的体积 ， 由V′(x)=0，得到x=1，且当0<x<1时，V′(x)>0；当 时，V′(x)<0， 即体积函数V(x)在x=1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x)在定义域上的最大值。 所以该长方体体积最大值时，x=1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m. 故选A. 4．从长，宽的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设剪去的正方形的边长为， 则做成的无盖的箱子的底是长为，宽为的矩形， 箱子的高为， 所以箱子的容积， ， 当时，只有一个解， 在附近，是左正右负， 在处取得极大值即为最大值， 所以，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为. 故选A. 5．如果一个正方体的体积在数值上等于，表面积在数值上等于，且恒成立，则实数的范围是（ ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为，则，， 令则， 因此时，， 故选B. 6．已知四棱锥的底面是中心为的正方形，且底面，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】设底面边长为a，则高， 所以体积， 设，则，令y′=0，解得a=0或a=4， 且当0<a<4时，y′>0，当a>4时，y′<0， 故在(0，4)上是增函数，在(4，+∞)上是减函数， ∴当a=4时，y最大，即体积最大，此时h=2， 故选B. 7．三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为（ ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】三棱锥的体积， ．令V′＝0，得x＝2或x＝0（舍去）． ∴x＝2时，V最大，为. 故选C. 8．如图，将直径为 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽 的积成正比(强度系数为)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽应为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设断面高为，则， 横梁的强度函数为， 当时，令，解得， 当时，；时，， 所以函数在处取得最大值，即横梁强度的最大值， 所以当断面的宽时，横梁的强度最大， 故选C． 9．已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥体积最大时，它的高为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】设底面边长为a，则高 所以体积 ， 设 则y′=48a3-3a5，y′=48a3-3a5=0，解可得a=4， 且当a＞4时，y′≤0，函数 在区间（4，+∞）是减函数； 当0＜a＜4时，y′＞0，函数在区间（0，4）是增函数； ∴当a=4时，函数，取得最大值，即此时体积最大， 此时 ， 故选C． 10．已知横梁的强度和它的矩形横断面的长的平方与宽的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的长和宽分别为（ ） A．d，d B．d，d C．d，d D．d，d 【答案】C 【解析】由题意，设横梁的强度为