专题05 （直线与椭圆的位置关系问题)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题五 直线与椭圆的位置关系问题 江苏高考对直线与椭圆的位置关系的考察比较多，题目多以解答题的形式出现。而且位置都比较靠后。对学生的运算能力要求比较高，同时要求学生能够有“数形结合”的思想。联立方程组，利用跟与系数求解。 自我检测 1. 已知椭圆C：过点，且离心率为． 求椭圆C的标准方程； 设过点的直线l与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为点C与点B不重合，证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标． 【答案】  解：椭圆C：过点，且离心率为． ，解，， 椭圆C的标准方程为． 证明：设，，则， 由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k， 则直线l的方程为：， 由，得， 所以，， 直线BC的方程为：， 所以， 令，则 ， 所以直BC与x轴交于定点． 【解析】本题考查了椭圆的标准方程以及椭圆的性质，考查了圆锥曲线中的定点问题，是中档题． 由题意列出关于a，b，c的方程解出a和b的值，即可求出椭圆方程； 设直线l的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系可得，，直线BC的方程为：， 令，求出x即可． 2. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P为坐标平面内的一点，且，，O为坐标原点． 求椭圆C的方程； 设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为，，且，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】解：设P点坐标为，， 则，， 由题意得 解得， 又， 所求椭圆C的方程为： 证明：依题直线AB斜率存在， 设直线AB方程为，且 联立方程 ， 又由， ， 设直线MA，MB斜率分别为，，则 即： 化简得： 得：，或 当时，，过点，不合题意舍去 当时，，过点， 直线AB恒过定点． 【解析】本题考查了椭圆的标准方程以及直线和椭圆的关系和圆锥曲线的定点问题，是一道难题． 根据已知条件得到c，根据离心率得到a，由此可得椭圆的标准方程； 设直线AB方程为，把直线和椭圆进行联立，根据得，找出MA，MB的斜率之间的关系，借助韦达定理求出m和k之间的关系，从而求出直线AB恒过的定点． 3. 已知椭圆，以抛物线的焦点为椭圆E的一个顶点，且离心率为． 求椭圆E的方程； 若直线与椭圆E相交于A、B两点，与直线相交于Q点，P是椭圆E上一点，且满足其中O为坐标原点，试问在x轴上是否存在一点T，使得为定值？若存在，求出点T的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：抛物线的焦点即为椭圆E的顶点，即， 离心率为， ， ，， 椭圆E的方程为； 设，， 则直线方程代入椭圆方程，可得， ，可得， ，， ， 因为， ， 代入椭圆方程可得 ， 假设存在这样的T点满足条件，设，， ， ，  ，  ，  要使为定值，只需，   ， 在x轴上存在一点，使得． 【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于难题． 利用椭圆以抛物线的焦点为顶点，且离心率为，求出几何量，即可求椭圆E的方程； 直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论． 4. 已知为椭圆C的一个焦点，B为椭圆C与y轴正半轴的交点，椭圆C上的点P满足． 求椭圆C的标准方程； 直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过原点，求证：原点到直线l的距离为定值． 【答案】解：由题意设椭圆C的标准方程为则， 因为， 所以， 因为P在椭圆C上，所以，解得， 所以， 所以椭圆C的标准方程为． 证明：当直线l的斜率不存在时，设， 因为，所以， 因为以PQ为直径的圆过原点，所以， 得， ． 此时原点到直线l的距离为 当直线l的斜率存在时，设． 由得， ，得， 设，， 则，， ． 因为以PQ为直径的圆过原点， 所以， ． 此时原点到直线l的距离， 综上，原点到直线l的距离为定值 【解析】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系及定值问题，属于较难题． 依题意，求出P的坐标，代入椭圆方程即可解题； 对直线l的斜率是否存在分类研究，当直线l的斜率存在时，设代入椭圆方程，得，设，，运用韦达定理，由得到，然后由点到直线的距离公式即可． 5. 已知椭圆的离心率为，其中一个焦点在直线上 求椭圆C的方程； 若直线与椭圆交于P，Q两点，试求三角形OPQ面积的最大值． 【答案】解：椭圆的一个焦点即为直线与x轴的交点，所以， 又离心率为，则，， 所以椭圆方程为； 设，， 联立直线与椭圆方程得， 令，得， 当时，O、P、Q三点共线，故， 则方程的两根为， ，， ， 点O到直线的距离， ， 当且仅当， 即或时取等号， 而或满足且， 所以三角形OPQ面积的最大值为1． 【解析】【试题解析】 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，同时考查直线与椭圆的位置关系及基