专题05 （直线与椭圆的位置关系问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题五 直线与椭圆的位置关系问题 江苏高考对直线与椭圆的位置关系的考察比较多，题目多以解答题的形式出现。而且位置都比较靠后。对学生的运算能力要求比较高，同时要求学生能够有“数形结合”的思想。联立方程组，利用根与系数求解。 1.直击高考 例题1.（2020山东，22题）已知椭圆的离心率为，且过点． 求C的方程 点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得为定值． 【分析】 本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题． 根据条件列方程求解即可． 联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为化简即可证明． 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系求解.涉及中点问题也可以用点差法. 基本知识 离心率： 椭圆标准方程： 焦点在轴： 焦点在轴： 【答案】解：由题意可知，，， 解得，， 所以椭圆方程为． 证明：设点，， 因为，所以， 所以， 当k存在的情况下，设， 联立得， 由，得， 由根与系数的关系得，， 所以， ， 代入式化简可得， 即， 所以或， 所以直线方程为或， 所以直线过定点或， 又因为和A点重合，故舍去， 所以直线过定点， 所以AE为定值，又因为为直角三角形，AE为斜边， 所以AE中点Q满足为定值，此时． 例2.（2020北京，20题）已知椭圆C：过点，且． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，求的值． 【答案】解：Ⅰ椭圆C：过点，且， 则，解得，， 椭圆方程为， Ⅱ由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为， 由， 消y整理可得， ， 解得， 设，， ，， 则直线AM的方程为，直线AN的方程为， 分别令， 可得， ，， ， ， 故． 【解析】Ⅰ由题意可得，解得，，即可求出椭圆方程； Ⅱ设直线方程为，设，，可得直线AM的方程为，直线AN的方程为，分别令，求出，，代入化简整理即可求出． 本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题． 例3（2020全国，20题）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D， 求E的方程 证明：直线CD过定点． 【答案】解： 由题意 ， 椭圆E的方程为． 由知， 则直线