专题03 （圆有关的最值问题)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题三 圆有关的最值问题 高考对最值问题的考察比较多，也是我们比较头疼的一类问题。此类问题会有它特殊的解决问题的方法。每一段所用的知识点不同，解决问题的手段也不同。本节内容要抓住“与圆有关”，不管是题目给到的，还是自己用圆的知识解决的。掌握题型方法，运用“数形结合”的思想解决问题。 自我检测 一、单项选择题 1. 已知点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查圆的标准方程，圆有关的最值问题，体现了转化及数形结合的数学思想，属于一般题． 先根据两圆的方程求出圆心和半径，把求的最大值转化为求，即可得解． 【解答】 解：圆的圆心，圆的圆心，这两个圆的半径都是． 要使最大，需最大，且最小， 最大值为，的最小值为， 故最大值是 ， 故的最大值为， 故选D． 2. 已知为圆上任意一点，则的最大值为 A. 2 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查圆的标准方程，圆有关的最值问题，属于中档题． 根据题意，求出圆心与半径，表示点与连线的斜率，结合图形，转化为点到直线的距离，即可求出结果． 【解答】 解：依题意，圆C：的标准方程是， 圆心是，半径， 是圆C上任意一点，表示点与连线的斜率， 如图所示： 数形结合可得，当过点A的直线在图中的位置与圆相切时，取得最大值， 设此时直线的斜率是k， 则直线方程是，即， 此时圆心到直线的距离等于半径， ，解得：或， 显然， 的最大值是． 故选B． 3. 已知曲线：与y轴交于A，B两点，P为：上任意一点，则的最小值为 A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查了直线与圆的位置关系及判定和圆有关的最值问题，是中档题． 不妨设，，得出关于直线的对称点为C，则的最小值为，计算即可． 【解答】 解：由：，得， 取，解得或． 不妨设，， 如图， 设关于直线的对称点为， 则，解得，． ． 则的最小值为． 故选B． 4. 已知M，N分别是圆C：和圆D：上的两个动点，点P在直线l：上，则的最小值是    A. B. 10 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查圆有关的最值问题，考查数形结合思想的运用，属于中档题． 画出图形，进行求解即可． 【解答】 解：画出图形： 易知圆D：关于直线对称的圆， 点N关于直线对称的点在圆上， 则有， 故， 当且仅当C、M、P、、五点共线时，上式能够取“”， 即． 故选C． 5. 已知，B是圆上的点，点P在双曲线的右支上，则的最小值为  A. 9 B. C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查双曲线的概念及标准方程，圆有关的最值问题，属于中档题． 由题意，设圆心为C，双曲线右焦点为，且，可得结论． 【解答】 解：设圆心为C，易知A为双曲线的左焦点， 双曲线右焦点为，且， 所以，当且仅当四点共线时取得等号． 故选C． 6. 已知点是函数图象上的动点，则的最小值是    A. 25 B. 21 C. 20 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了圆有关的最值问题和点到直线的距离公式，属于中档题． 易知函数图象是半圆，先得出圆心到直线的距离为5，则到直线的距离的最小值为，可得的最小值． 【解答】 解：函数图象是半圆，圆心为，半径为， 如图，作直线， C到直线的距离为， 到直线的距离为， 其最小值为， 的最小值为． 故选C． 7. 在平面直角坐标系xOy中，圆：，圆：，点，动点A，B分别在圆和圆上，且，N为线段AB的中点，则MN的最小值为    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查与圆有关的最值问题，难度较大． 由，根据向量的运算以及两点间的距离公式，求得N点的轨迹为圆，利用点与圆的位置关系求得MN的最小值． 【解答】 解：设，，， 由，得， 所以， 由题意MN为斜边上的中线， 所以， 则 ， 又由，则， 可得， 化简得， 则N点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，M在圆内， 则MN的最小值是圆的半径减去M到的距离， 即MN的最小值为． 故选A． 8. 已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是    A. 5 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题． 求得圆心与半径，由抛物线的定义可知：可知当P，Q，F，E四点共线时P到点Q的距离与点P到直线距离之和的最小，利用勾股定理即可求得． 【解答】 解：抛物线的焦点为， 圆的圆心为，半径为1， 根据抛物线的定义可知点P到准线