02 活用一个“小妙招”优化三类导数题-《中学生数理化》高二数学2021年2月刊

活用一个“小妙招”优化三类导数题 ■河北省南宫中学鲍春晓霍忠林 导数中与指数(型》函数或对数(型)函数罔精对单身”的处理策略,可优牝解题过 关的不等式证明问题,含有参数的恒成立翟,有助于同学们的吸收和掌握。实际上,在 问题和函数零点问题是导数压轴题中最常见证明形如"f(x)·lnx>g(x)(或f(x) 的三种类型。在处理这些类型的导数问 nx<g(x),其中f(x)>0)”的问题时,可 时,通过下面的优化策略—将对数(型) 数“单身“(通过等价变形将对数(型)函数独 立出率,让其形成单独的一项)或将数()(m=)“来处,些时只需通建 函数”我朋友”(通过等价变形,将指数(型)函导一次使可将对数函数“消灵“。 数乘以或除以一个函数 解题过程,提高解题效率。下面以高考题或 例2(2018年新课标目卷理科第21 模拟题为载体来例析这个“小妙招”在处理不题节选)设函数f(x)= 证明:当≈0时,f(x) 等式证明向题、含有参数的恒成立问愿和函 数零点问题中的应用。限于篇幅.本文在撕 类型一不等式证明问题 例1(2016年新课标Ⅲ卷文科第21g(x)=-(1)≤0,g(x)在[0,+∞)上 解析:当x>1时, 题得证 评析;若本題直接构造函数g(x f(x)-1来证明,是需要二次求导才能处理 上单调递减 的,但是采用指数“找朋友”的策略,只需要 构造函数m()=nx-(2 f(x)(或≤f(x)》”的问题时,可考虑将其 等价转化为证明“<1(数2>1)“的 例3(2016年新课标Ⅱ卷理科第 题改绵) 明 练上,命题得证 解析:当x>0时.《x-2)e+x+2> 评析:本题若直接构遗函数g(x +1>0.构造函数g(x 过程会涉及多次求导,计算也很频璣。若泉 知图架与中学生杂理化 令h(x)-ln g(x)>x(0)=0。故原命题得证 评析:实际上,在证明形如“f(x)*c h(x)在(0+∞)上单调递增 的问题时,可考虑将其等价特化为证明 递减,在(1,十∞)上单训递增 1(k4一处理,从 所以g(x)≥g(1)=c>1,原命题得证 评析:本题中采用指数“找剧友”的策略 上述三个例题都是待证不等式中只含有将问超 对数(型)函数或只含有指数()函数,实际 上同时含有指数(型)和对数(型)的“指对混克考虑将对数“单身”的策略,位这也不是“万 合”的函数不等式证明也可以采用上述“小能”的。比如本题如果优先考虑对数“单身 妙招“来优化解题过程 来处理,解题过程会非常复杂,限于篇幡,不 例4(2019年12月福州市期未考试4 含参函数的恒成立问题 第21题)已知函数f(x)-clnx-a(a∈R 当a=e时,证閉:f(x)-e+2er 侧6(2020年新课标I卷理科第21 e+2ex≤0+lnx-x+题节选)已知函数f(x)=e+ax 当x≥0时,f(x)言x2+1,求a的 所以g(x)在(0,1)上单调递增,在( 评析:本题通过采用对数”单身”的处理策 略将问題简单化,便于同学们的理解和掌握 ①当2a+1c0,即a≤一÷时,g(x)在 题)已知函数f(x)-xlx++b的图像 ②当0<2a+1<2,即 单训递增,(2,+∞)上单调递减:面g(0) 构造函数g(x)=e(atnx