06 解导数题的几种构造妙招-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

中学生数理代三数学经魏率方法 解导数题的几种构造妙招 ■河南省商丘市应天高中张振继(特级教师) 在解导数有关问题时,常常需要构造 解:令f(x)=e-lnx,则f(x)=e 个辅助函数,然后利用导数解决问题,怎样构1 。令f(x)=0,则x 造函数就成了解决问题的关键,本文给出几 种常用的构造方法,以抛砖引玉。 根据 的图像可得,两个图像 联想构造 交点的横坐标x。∈(0,1),所以h(x)在(0, 例函数f(x)在其定义域内满 1)上不单调,无法判断f(x1)与f(x2)的大 xf(x)+f(x)=e,且f(1)=e,则函数小,A、B不正确。同理,构造函数g(x) f(x)( ,可证g(x)在(0,1)上单调递减,所以 A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 (x)>g(x2),即e1>xe C.既有极大值,又有极小值 三、作差构造 D.既无极大值,又无极小值 例3函数f(x)(x∈R)的导函数为 分析:联想导数的运算法则,(f(x) f'(x),且f(2)=5,f'(x)>3,则不等式 g(x))=f(x)g(x)+f(x)g'(x),于是构 f(x)≤3x-1解集为 造函数g(x)=xf(x)。其导数已知,所以 ,3]B.[3,+∞ xf(x)=e十C,确定常数C,求得f(x) 分析:在处理不等式f(x)≥g(x)或 解:设g(x)=xf(x),则g'(x) f(x)≤g(x)时,通常构造函数h(x)=f(x) xf(x)+f(x)=e。可设g(x)=e+C,即 g(x),将问题转化为h(x)≥0或h(x)≤ xf(x)=e+C(C为常数)。 令x=1,则1·f(1)=e+C。又f(1) 解:构造函数g(x)=f(x)-(3x-1), ,故C=0,g(x)=e,即xf(x)=e 则g'(x)=f(x)-3>0,g(x)在R上为增 函数。又g(2)=f(2)-(3×2-1)=0,所以 所以f(x)=,(x)=(x=12 当g(x)≤0=g(2)时,x≤2。不等式f(x) f(x)在(-∞,0),(0,1)上单调递减,在 3x-1的解集为(-∞,2],选C。 (1,十∞)上单调递增 四、选元构造 所以f(x)有极小值,无极大值,选B 侧4已知函数f(x)=xlnx,当0 同构构造 <x2时,求证:(x1)+f(x2) 例2【2014年湖南卷】若0<x1<x2 1,则( 分析:对于多元问题,往往选定一个主 L,然后构造函数,利用导数解题 证明:因为f(x)=xlnx,所以f'( f(x)tf 分析:将等式或不等式的两边化为相同 结构形式,可以根据结构形式构造辅助函数 解题 则F'(x)f(x)1,/x+x21 中学生数理代三数学经魏率方法 解:g(x)=0分∫(x 解析:f(x)sinx<0,联想导数运算 0台 法则,可构造函数F(x)=f(x)-cosx,则 0(x≠0)。构F(x)=f(x)+sinx<0,F(x)在R上单 调递减。由f(x)+f(-x)=2cosx,得 造函数g(x)=x3f(x)-1,则g(x) F(-x)+F(x)=0,所以F(x)是R上的奇 。当x>0时,g'(x) 函数。由F(x)=f(x)-cosx,得f(x) 0,函数g(x)单调递减:当x<0时,g'(x) F(x)+cosx,于是,f(+a)+f(a)≥0 0,函数g(x)单调递增。又g(0)=-1<0,F(x+a)+cos(x+a)+F(a)+cosa≥0分 故函数g(x)无零点,选D F(x+a)>-F(a)=F(-a)e)丌+a≤-a 九、其他构造 解得a≤-2,选A。 例9已知函数f(x)是定义在R上的 2.已知定义在R上的函数f(x),满足 奇函数,设f(x)是f(x)的导函数,当x≥0 f(x)-f(-x)=2sinx,当x≥0时,f'(x) 时,f(x)-f(x)>0,若彐x∈[-2,+∞) 使得f[e(x3-3x+3)]≤f(ae+x)成立, cosx,则不等式f(2x)-f(x 则实数a的最小值为( sin2x+cosx的解集为( C.1+2 解:f(x)是定义在R上的奇函数,并且 当x≥0时,f(x)-f(x)>0,可构造函数 f(x)=e-e,则f(x)在R上为增函数 又f[e"(x3-3x+3)]≤f(ae+x),所以 e(x3-3x+3)≤ae+x在[-2,+∞)上有解 解析:f(2 sin 2.x 整理得a≥x3-3x+3-。设g(x)= 则g'(x)= 令F(x)=f(x)-sinx。由f(x) 当x∈[-2,1)时,g(x)<0;当x∈(1 f(-x)=2sinx,得F(x)=F(-x),即 +∞)时,g'(x)>0。故g(x)在[-2,1)上F(x)为偶函数。 是减函数,在(1,+∞)上是增函数