07 系统抽样的非常规题汇总（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年2月刊

■范梦媛 系统抽样也叫等距抽样,在系统抽样中, 总体容量为 m,样本容量为n,需将总体平均 分成n 组,第1组抽到的样本编号为a,抽样 间隔为 m n ,则第k 组抽到的样本编号为a+ m n (k-1),其中1≤a≤ m n 且a∈N*,1≤k≤n 且k∈N*。 一、求抽样间隔 例1 总体容量为524,若采用系统抽样 方法抽样,当抽样间隔为多少时不需要 剔 除 个体:( )。 A.3 B.4 C.5 D.6 解:在抽样过程中不需要剔除个体,则抽 样间隔能整除524。应选B。 二、求样本容量 例2 某单位 有 工 程 师6人,技 术 员12 人,技工18人,要从这些人中 抽 取 一 个 容 量 为n 的样本。如果采用系统抽样和分层抽样 方法抽取,就不用剔除个体;如果样本容量增 加1,则在采用系统抽样时,需要在总体中先 剔除1个个体,求样本容量n。 解:总体容 量 为6+12+18=36。由 题 意可知,系统抽样的抽样间隔为36 n ,分层抽样 的抽样比为 n 36 。由分层抽样可知,抽取工程 师人数为 n 36 ×6= n 6 ,技术员人数为n 36 ×12= n 3 ,技工人数为n 36 ×18= n 2 ,所以n 应是6的 倍数,36的约数,即n=6,12,18。 当样本容量为n+1时,在采用系统抽样 时,先剔除1个个体,此时总体容量是35,系 统抽样的间隔为 35 n+1 。又 35 n+1 为正整数,故 n 只能取6,即样本容量n=6。 三、求所抽样本的编号 1.已 知 第1组 所 抽 样 本 的 编 号,求 第k 组所抽样本的编号 例3 某 初 级 中 学 采 用 系 统 抽 样 方 法, 从该校800名学生中抽取50名 学 生 做 牙 齿 健康检查,现将800名 学 生 从1到800进 行 编号,求得抽样间隔k= 800 50 =16,即每16人 中抽取1人,在1~16中随机抽取一个数,若 抽到的数是7,则从33~48这16个数中应抽 取的是( )。 A.39 B.40 C.37 D.38 解:由系统抽样可知,所抽到的样本编号 为7+16×(k-1)(1≤k≤50,k∈N*),所以 在33~48这16个数中应抽取的是7+16× 2=39。应选 A。 2.已 知 第k 组 所 抽 样 本 的 编 号,求 第1 组所抽样本的编号 例4 用系统抽样方法从160名学生中 抽取容量为20的样本,将160名学生从1~ 160编号,按编号顺序平分成20组(1~8号, 9~16号,…,153~160号),若第16组抽取 的号码为125,则第1组中按抽签法确定的号 码是 。 解:设第1组中 按 抽 签 法 确 定 的 号 码 为 a,则a+8×(16-1)=125,解得a=5。 3.求所抽所有样本的可能编号 例5 有40件产品,编号为1~40,现从 中抽取4件进行检验,用系统抽样方法确定 所抽取的编号可能为( )。 A.5,10,15,20 B.2,12,22,32 C.2,14,26,38 D.5,8,31,36 解:抽样 间 隔 为40 4 =10。令 第1组1~ 10号样本中抽取的编号为k,则抽 取 到 的4 件样本的编号为k,k+10,k+20,k+30。易 知满足题意的只有选项B。应选B。 4.已 知 所 抽 样 本 中 最 小 的 两 个 编 号,求 所抽样本中的最大编号 例6 从编号为001,002,…,500的500 21 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年2月 个产品中采用系统抽样方法抽取一个 样 本, 已知 样 本 中 最 小 的 两 个 编 号 分 别 为 007, 032,则样本中最大的编号应该为( )。 A.480 B.481 C.482 D.483 解:由 样 本 中 最 小 的 两 个 编 号 分 别 为 007,032,可 得 抽 样 间 隔 为32-7=25,则 样 本容量为 500 25 =20,第k 组 应 抽 取 的 号 码 为 x=7+25(k-1)(1≤k≤20且k∈N*),当 k=20时,x 取得最大值为x=7+25×19= 482。应选C。 四、求某区间上所抽样本的个数 1.在没 有 给 出 所 抽 样 本 的 编 号 的 情 况 下,求某区间上所抽样本的个数 例7 某单位有840名职工,现采用系统 抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按 1,2,3,…,840随机编号,则抽取的42人中, 编号落入区间[481,720]的人数为( )。 A.11 B.12 C.13 D.14 解:由抽样间隔为840 42 =20,可知每20人 中抽取1人,所 以 抽 取 编 号 落 入 区