06 线性回归方程的求解与应用（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年2月刊

■刘长柏 在解决许多实际应用问题时,可以运用 回归分析的基本思想,通过构建回归模 型 去 刻画解释变量与预报变量的关系,并利 用 模 型,对解释变量的某个值去预测相应预 报 变 量的某个值,从而使问题得 到 解 决。下 面 举 例说明线性回归方程的求解与应用。 一、相关关系的判断 例1 已 知 变 量 x 和y 满 足 关 系y= -0.1x+1,变量y 与z 正相关。下列结论中 正确的是( )。 A.x 与y 正相关,x 与z 负相关 B.x 与y 正相关,x 与z 正相关 C.x 与y 负相关,x 与z 负相关 D.x 与y 负相关,x 与z 正相关 解:由y=-0.1x+1,可知x 与y 负相 关,即y 随x 的增大而减小。由y 与z 正相 关,可知z 随y 的增大而增大,所以z 随x 的 增大而减小,即x 与z 负相关。应选C。 判断 两 个 变 量 的 相 关 性 的三 种 方 法:①画 散 点 图 法, 点的分布从 左 下 角 到 右 上 角,两 个 变 量 正 相 关,点的分布从左上角到右下角,两个变量负 相关;②相关系数法,当r>0时两个变量 正 相关,当r<0时两个变量负相关;③线性 回 归方程中,当b>0时两个变量正相关,当b< 0时两个变量负相关。 二、线性回归方程的求解 例2 某地电影院为了解当地影迷对快 要上映的一部电影的票价的看法,进行 了 一 次调研,得到了票价x(单位:元)与渴望观影 人数y(单位:万人)的结果如表1所示。 表1 x(单位:元) 30 40 50 60 y(单位:万人) 4.5 4 3 2.5 (1)若y 与x 具有较强的相关关系,试分 析y 与x 之间是正相关还是负相关。 (2)请根据表中提供的数据,用最小二乘 法求出y 关于x 的线性回归方程。 解:(1)由表中数据 可 知,y 随x 的 增 大 而减小,故y 与x 之间是负相关关系。 (2)由 表 中 数 据 可 得x=45,y=3.5, ∑ 4 i=1 xiyi-4x y=-35,∑ 4 i=1 x2i-4x2=500,则 b= ∑ 4 i=1 xiyi-4x y ∑ 4 i=1 x2i-4x2 =-0.07,a=3.5+0.07× 45=6.65,所 以 所 求 线 性 回 归 方 程 为 ŷ= -0.07x+6.65。 利用 公 式 求 线 性 回 归 方 程的一般步骤:计算平均数x, y;计算xi 与yi 的 积,求∑ n i=1 xiyi;计 算∑ n i=1 x2i ; 将结果代入公式求b,由a=y-bx求a;写 出回归直线方程。 三、利用线性回归方程进行预报 例3 “精 准 扶 贫”的 重 要 思 想 最 早 在 2013年11月 提 出,习 近 平 总 书 记 到 湘 西 考 察时首次作出“实事求是,因地制宜,分类指 导,精准 扶 贫”的 重 要 指 示。2015年 习 总 书 记在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五” 时 期 精 准 扶 贫 开 发 工 作,确 保 贫 困 人 口 到 2020年如期脱贫。某农科所实地考察,研究 发现某贫困村适合种植 A、B 两种药材,可以 通过种植这两种药材脱贫,通过大量考 察 研 究得到了统计数据(如表2和图1)。 药材 A 的亩产量约为300kg,其收购价 格处于 上 涨 趋 势,最 近 五 年 的 价 格 如 表 2 所示。 表2 编号 1 2 3 4 5 年份 2015 2016 2017 2018 2019 单价(元/kg) 18 20 23 25 29 药材 B 的收购价格始终为20元/kg,其 01 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年2月 亩产量的频率分布直方图如图1所示。 图1 (1)若药材 A 的单价y(单位:元/kg)与 年份编号x 具有线性相关关系,请求出y 关 于x 的线性回归方程,并估计2020年药材 A 的单价。 (2)用图1的频率分布直方图估计 药 材 B 的平均亩产量。若不考虑其他 因 素,试 判 断2020年该村应种植药材A 还是药材B,并 说明理由。 参 考 公 式:b= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 = ∑ n i=1 xiyi-nx y ∑ n i=1 x2i-nx2 ,a=y-bx。 解:(1)由表中数据计算可 得x=3,y= 23。由参 考 公 式 计 算 可 得b=2.7。由y= bx+a,即23=2.7×3+a,解得a=14.9,所 以ŷ=2.7x+14.9,可知当x=6时,̂y=31.1, 即估计2020年药材 A 的单价为31.1元/kg。 (2)估计药材 B 的平均亩产 量 为360× 0.1+380×