01 用样本估计总体复习点拨（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年2月刊

■杨文金 统计思想的本质就是用样本估计总体。 用样本估计总体,一般有两种方法:一是用样 本的频率分布估计总体分布,二是用样 本 的 数字特征估计总体的数字特征。 一、要点梳理 (1)频率分布直方图:纵轴表示 频率 组距 ,即 小长方形的高= 频率 组距 ;小长方形的面积=组 距× 频率 组距 =频率;各个小方形的面积总和等 于1。(2)频 率 分 布 表 画 法 步 骤:①求 极 差, 决定组数和组距,组距= 极差 组数 ;②分组,通常 对组内数值所在区间取左闭右开区间,最 后 一组取闭区间;③登记频数,计 算 频 率,列 出 频率分布表。(3)中位数:将一组数据按大小 依次排列,处于最中间位置的一个数据(或最 中间两个数据的平均数)。众数:一组数据中 出现次数最多的数据。平均 数:一 组 数 据 的 算术平 均 数 即 为 这 组 数 据 的 平 均 数。数 据 x1,x2,…,xn 的 方 差s2= 1 n [(x1-x)2+ (x2-x)2+…+(xn-x)2]。 常用结论:①众 数 的 估 计 值 为 最 高 小 长 方形的底边中点对应的横坐标。②平均数的 估计值等于频率分布直方图中每个小长方形 的面积 乘 以 小 长 方 形 底 边 中 点 的 横 坐 标 之 和。③中位数的估计值的左边和右边的小长 方形的 面 积 之 和 是 相 等 的。④ 若 数 据 x1, x2,…,xn 的 平 均 数 为x,则 mx1+a,mx2+ a,mx3+a,…,mxn+a 的平均数是mx+a; 若数据 x1,x2,…,xn 的 方 差 为s2,则 数 据 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的方差为a2s2。 二、考点举例 例1 为 了 解 甲,乙 两 种 离 子 在 小 鼠 体 内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠 随机分成 A,B 两组,每组100只,其中 A 组 小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子 溶液,每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓 度相同。经过一段时间后用某种科学方法测 算出残留在小鼠体内离子的百分比。根据试 验数据分别得到甲,乙离子残留百分比 的 频 率分布直方图如图1,图2所示。 图1 图2 记事件C 为“乙离子残留在体内的百分 比不 低 于5.5”,根 据 频 率 分 布 直 方 图 得 到 P(C)的估计值为0.7。 (1)求图2中a,b 的值。 (2)分别估计甲,乙离子残留百分比的平 均值(同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表)。 解:(1)由题意可得a+0.2+0.15=0.7, 解得 a=0.35。由 0.05+b+0.15=1- P(C)=1-0.7,解得b=0.1。 (2)由图1和图2可得,甲离子残留在体 内的百分比的平均值为0.15×2+0.2×3+ 0.3×4+0.2×5+0.1×6+0.05×7=4.05,乙 离子残留在体内的百分比的平均值为0.05× 3+0.1×4+0.15×5+0.35×6+0.2×7+ 0.15×8=6。 例2 演讲比赛共有9位评委分别给出 某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从 9个 原 始 评 分 中 去 掉1个 最 高 分、1个 最 低 分,得到7个有效评分。7个有效评分与9个 原始评分相比,不变的数字特征是( )。 A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 解:设9位评委 评 分 按 从 小 到 大 排 列 为 x1<x2<x3<x4<…<x8<x9。 由中位数的性质可知,中位数不变,A 正 确。平均 数 受 极 端 值 影 响 较 大,B 不 正 确。 由方差公式易知,C不正确。显然两个极 差 不等,D不正确。应选 A。 作者单位:山东省枣庄二中 (责任编辑 郭正华) 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年2月 $$